【題目】如圖,在四棱錐中,直線平面,.
(1)求證:直線平面.
(2)若直線與平面所成的角的正弦值為,求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】
試題分析:(1)證明線面垂直,一般多次利用線面垂直判定定理及性質(zhì)定理,經(jīng)多次線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化進行論證:在線線垂直論證與尋找時,要注意利用平面幾何的條件,如本題就利用兩三角形相似,得到,再根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理將條件平面轉(zhuǎn)化為線線垂直:,最后根據(jù)線面垂直判定定理得平面(2)線面角找射影,由(1)知直線在平面上射影為(為與交點),則是直線與平面所成的角,二面角的作法,往往結合三垂線定理:作于,由,知平面,∴,∴是二面角的平面角,最后結合對應三角形求角的三角函數(shù)值.本題也可建立空間直角坐標系進行論證、求解.
試題解析:
法一:(1)
取中點,連接,則,
∴四邊形是平行四邊形,∴.
∵直角和直角中,,∴直角直角,易知,
∴
又∵平面,∴
而,∴平面,得證
(2)由,知,∵,∴,
設交于,連接,則是直線與平面所成的角,
,∴,而故
作于,由,知平面,∴,∴是二面角的平面角
∵,∴,而,
∴,∴,∴,即二面角的平面角的余弦值為
法二:
(1)∵平面,∴,又∵,故可建立如圖所示坐標系
由已知,∴,∴
∴,∴平面
(2)由(1),平面的一個法向量是,
設直線與平面所成的角為,∴,,
∵,∴,即
設平面的一個法向量為,
由,∴,令,則
∴
顯然二面角的平面角是銳角,
∴二面角的平面角的余弦值為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且滿足4Sn﹣1=an2+2an , n∈N* .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn= ,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 證明: ≤Tn< .
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【題目】如圖,在△ABC中,BC邊上的高AM所在的直線方程為x-2y+1=0,∠A的平分線所在的直線方程為y=0與BC相交于點P,若點B的坐標為(1,2).
(1)分別求AB和BC所在直線的方程;
(2)求P點坐標和AC所在直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (k∈R).
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若k∈N*,且當x∈(1,+∞)時,f(x)>0恒成立,求k的最大值.( )
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|,其中a>1
(1)當a=2時,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;
(2)已知關于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.
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【題目】已知命題p:x∈(﹣∞,0),2x>3x;命題q:x∈(0, ),sinx>x,則下列命題為真命題的是( )
A.p∧q
B.(¬p)∨q
C.(¬p)∧q
D.p∧(¬q)
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【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)在點點處的切線方程;
(2)當時,求函數(shù)的極值點和極值;
(3)當時, 恒成立,求的取值范圍.
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【題目】下列說法正確的是( )
A. 甲、乙二人比賽,甲勝的概率為,則比賽5場,甲勝3場
B. 某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,前9個病人沒有治愈,則第10個病人一定治愈
C. 隨機試驗的頻率與概率相等
D. 天氣預報中,預報明天降水概率為90%,是指降水的可能性是90%
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在某次考試中,從甲乙兩個班各抽取10名學生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析,兩個班成績的莖葉圖如圖所示.
(Ⅰ)求甲班的平均分;
(Ⅱ)從甲班和乙班成績90100的學生中抽取兩人,求至少含有甲班一名同學的概率.
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