【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)在點點處的切線方程;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)的極值點和極值;
(3)當(dāng)時, 恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1);(2)的極大值,函數(shù)無極小值;(3).
【解析】試題分析:1)求出導(dǎo)函數(shù),求解切線的斜率f′(1)=1﹣a,然后求解切線方程;
(2)求出函數(shù)的極值點,判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的極值即可;
(3)令g(x)=xlnx﹣a(x2﹣1)(x≥1),求出導(dǎo)函數(shù)g′(x)=lnx+1﹣2ax,令F(x)=g′(x)=lnx+1﹣2ax,求出,通過若a≤0,若,若,分別判斷函數(shù)的符號函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的最值,然后求解a的取值范圍.
試題解析:
(1)由題,所以,
所以切線方程為:
(2)由題時, ,所以
所以; ,
所以在單增,在單減,所以在取得極大值.
所以函數(shù)的極大值,函數(shù)無極小值
(3),令,
,令,
(1)若, , 在遞增,
∴在遞增, ,從而,不符合題意
(2)若,當(dāng), ,∴在遞增,
從而,以下論證同(1)一樣,所以不符合題意
(3)若, 在恒成立,
∴在遞減, ,
從而在遞減,∴, ,
綜上所述, 的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)設(shè)點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年4月23日“世界讀書日”來臨之際,某校為了了解中學(xué)生課外閱讀情況,隨機抽取了100名學(xué)生,并獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表.
(Ⅰ)求的值,并作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;
(Ⅱ)假設(shè)每組數(shù)據(jù)組間是平均分布的,試估計該組數(shù)據(jù)的平均數(shù);(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(Ⅲ)現(xiàn)從第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6人參加校“中華詩詞比賽”,經(jīng)過比賽后從這6人中選拔2人組成該校代表隊,求這2人來自不同組別的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年4月23日“世界讀書日”來臨之際,某校為了了解中學(xué)生課外閱讀情況,隨機抽取了100名學(xué)生,并獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表.
(1)求的值,并作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;
(2)現(xiàn)從第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6人參加!爸腥A詩詞比賽”,經(jīng)過比賽后從這6人中選拔2人組成該校代表隊,求這2人來自不同組別的概率;
(3)假設(shè)每組數(shù)據(jù)組間是平均分布的,若該校希望使15%的學(xué)生的一周課外閱讀時間不低于(小時)的時間,作為評選該!罢n外閱讀能手”的依據(jù),試估計該值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司計劃投資A、B兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資量成正比例,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資量的算術(shù)平方根成正比例,其關(guān)系如圖2(注:利潤與投資量的單位:萬元).
(1)分別將A、B兩產(chǎn)品的利潤表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該公司已有10萬元資金,并全部投入A、B兩種產(chǎn)品中,問:怎樣分配這10萬元投資,才能使公司獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AB⊥平面BCP,CD∥平面ABP,AB=BC=CP=BP=2CD=2
(1)證明:平面ABP⊥平面ADP;
(2)若直線PA與平面PCD所成角為α,求sinα的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近幾年,京津冀等地數(shù)城市指數(shù)“爆表”,尤其2015年污染最重.為了探究車流量與的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時間段車流量與的數(shù)據(jù)如表:
時間 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期七 |
車流量(萬輛) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
的濃度(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(1)由散點圖知與具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)(ⅰ)利用(1)所求的回歸方程,預(yù)測該市車流量為8萬輛時的濃度;
(ⅱ)規(guī)定:當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi),空氣質(zhì)量等級為優(yōu);當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi),空氣質(zhì)量等級為良.為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良,則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在多少萬輛以內(nèi)?(結(jié)果以萬輛為單位,保留整數(shù).)
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