【題目】已知函數(shù) (k∈R).
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若k∈N*,且當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,求k的最大值.(

【答案】
(1)解:f′(x)= = ,(x>0).

①k≤0時(shí),f′(x)>0,∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

②k>0時(shí),f′(x)=

△=(2﹣k)2﹣4=k(k﹣4)≤0時(shí),解得0<k≤4,f′(x)≥0,∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

△=k(k﹣4)>0,k>0時(shí),解得k>4.由x2+(2﹣k)x+1=0,解得x= ,

取x1= ,x2= .0<x1<x2

∴f′(x)= .令f′(x)>0,解得x>x2,0<x<x1,則函數(shù)f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增;在(x1,x2)上單調(diào)遞減.

綜上可得:k≤4,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

k>4時(shí),函數(shù)f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增;在(x1,x2)上單調(diào)遞減,其中x1= ,x2= ,0<x1<x2


(2)解:由(I)可得:k≤4,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.而f(1)=5﹣ ≥3,∴當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,滿足條件.

k>4時(shí),函數(shù)f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增;在(x1,x2)上單調(diào)遞減,其中x1= ,x2= ,0<x1<x2

由于x1= <1<x2,若f(1)=5﹣ ≥0,解得k≤10.

k>10時(shí)舍去.

4<k≤10時(shí),必須f(x2)>0,

+(2﹣k)x2+1=0,可得kx2= +2x2+1,

∴f(x2)=5+lnx2 =4﹣x2+lnx2>0,

k=10時(shí),由 ﹣8x2+1=0,x2>1,解得x2=4+

f(x2)=4﹣(4+ )+ln(4+ )=ln(4+ )﹣ <0,舍去.

同理可得:k=9不滿足條件舍去.

k=8時(shí),由 ﹣6x2+1=0,x2>1,解得x2=3+2

f(x2)=4﹣(3+2 )+ln(3+2 )≈1﹣2 +1.76<0,舍去.

k=7時(shí),由 ﹣5x2+1=0,x2>1,解得x2= ∈(4.75,4.8).

f(x2)=4﹣x2+lnx2>0,

綜上可得:當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,k的最大值為7.


【解析】(I)f′(x)= = ,(x>0).①k≤0時(shí),f′(x)>0,可得單調(diào)性.②k>0時(shí),f′(x)= .△≤0時(shí),解得0<k≤4,f′(x)≥0,可得函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.△>0,解得k>4.由x2+(2﹣k)x+1=0,取x1= ,x2= .0<x1<x2 . f′(x)= .即可得出單調(diào)性.(II)由(I)可得:k≤4,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.而f(1)=5﹣ ≥3,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,滿足條件.k>4時(shí),函數(shù)f(x)在在(1,x2)上單調(diào)遞減,(x2 , +∞)上單調(diào)遞增;1<x2 . 若f(1)=5﹣ ≥0,解得k≤10.k>10時(shí)舍去.4<k≤10時(shí),必須f(x2)>0,經(jīng)過驗(yàn)證即可得出.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求的值,并作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;

(Ⅱ)假設(shè)每組數(shù)據(jù)組間是平均分布的,試估計(jì)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù);(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(Ⅲ)現(xiàn)從第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6人參加校“中華詩詞比賽”,經(jīng)過比賽后從這6人中選拔2人組成該校代表隊(duì),求這2人來自不同組別的概率.

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