Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足4Sn﹣1=an2+2an ， n∈N* ．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn= ，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 證明： ≤Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，4a1=4S1= +2a1+1，

解得a1=1．

當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn=an2+2an+1，4Sn﹣1=an﹣12+2an﹣1+1，

相減得4an=an2+2an﹣（an﹣12+2an﹣1），即an2﹣an﹣12=2（an+an﹣1），

又an＞0，∴an+an﹣1≠0，則an﹣an﹣1=2，

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，

∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．

（2）解：bn= = = ，

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和：

Tn=

= ，

（Tn）min=T1= = ，

∴ ≤Tn＜ ．

【解析】（1）通過4Sn﹣1=an2+2an ， 令n=1可得首項(xiàng)，當(dāng)n≥2時(shí)，利用4an=an2+2an﹣（an﹣12+2an﹣1）可得公差，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）由bn= = = ，利用裂項(xiàng)求和法能證明 ≤Tn＜ ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．