Question

8．在平面區(qū)域{（x，y）||x|≤2，|y|≤2}上恒有ax+3by≤4，則動(dòng)點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積是（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 欲求平面區(qū)域的面積，先要確定關(guān)于a，b的約束條件，根據(jù)恒有ax+3by≤4成立，a≥0，b≥0，確定出ax+3by的最值取到的位置從而確定關(guān)于a，b約束條件．

解答 解：平面區(qū)域{（x，y）||x|≤2，|y|≤2}，如圖：
當(dāng)a≥0，b≥0
t=ax+3by最大值在區(qū)域的右上取得，即一定在點(diǎn)（2，2）取得，∴2a+6b≤4，
作出：$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{b≥0}\\{a+3b≤2}\end{array}\right.$的可行域如圖藍(lán)色的三角形的區(qū)域，
∴以a，b為坐標(biāo)點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，
面積為：$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×2$=$\frac{2}{3}$．
由a≤0，b≥0；a≤0，b≤0；a≥0，b≤0；三種情況可知可行域類(lèi)似a≥0，b≥0的情況，分別為紅色三角形區(qū)域；黑色三角形區(qū)域；黃色三角形區(qū)域；
以a，b為坐標(biāo)點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積是：4×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)．本題主要考查了簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于中檔題．