【題目】如圖,在四棱錐中,底面是矩形,是的中點(diǎn),平面,且,.
(1)求證:;
(2)求與平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面,即證;
(2)以為原點(diǎn),分別以所在直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的法向量,用向量的方法求直線與平面所成角的正弦值;
(3)求平面的法向量,用向量的方法求二面角的余弦值.
(1)平面,平面,.
底面是矩形,,又,
平面,平面,
.
(2)以為原點(diǎn),分別以所在直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示
則,
,
設(shè)平面的法向量,則
,即,令,則,.
設(shè)直線與平面所成的角為,則
.
所以與平面所成角的正弦值為.
(3).
設(shè)平面的法向量,則
,即,令,則..
又平面的法向量.
設(shè)二面角的大小為,則為銳角,
,
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中:
①若樣本數(shù)據(jù)的方差為16,則數(shù)據(jù)的方差為64;
②“平面向量夾角為銳角,則”的逆命題為真命題;
③命題“,”的否定是“,”;
④若:,,則是的充分不必要條件.
真命題的個數(shù)序號_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),證明時, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,討論的單調(diào)性;
(2)若,且對于函數(shù)的圖象上兩點(diǎn), ,存在,使得函數(shù)的圖象在處的切線.求證;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A,B是拋物線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn),點(diǎn)E是拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).
(1)若是面積為4的直角三角形,求拋物線C的方程;
(2)若直線BE與拋物線C交于另一點(diǎn)D,證明:直線AD過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在單位正方體中,點(diǎn)在線段上運(yùn)動,給出以下三個命題:
①三棱錐的體積為定值; ②二面角的大小為定值;
③異面直線與直線所成的角為定值;
其中真命題有( )
A.0個B.1個C.2個D.3個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量按照空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為七檔(五級),相對應(yīng)空氣質(zhì)量的七個類別,指數(shù)越大,說明污染的情況越嚴(yán)重,對人體危害越大.
指數(shù) | 級別 | 類別 | 戶外活動建議 |
Ⅰ | 優(yōu) | 可正常活動 | |
Ⅱ | 良 | ||
Ⅲ | 輕微污染 | 易感人群癥狀有輕度加劇,健康人群出現(xiàn)刺激癥狀,心臟病和呼吸系統(tǒng)疾病患者應(yīng)減少體積消耗和戶外活動. | |
輕度污染 | |||
Ⅳ | 中度污染 | 心臟病和肺病患者癥狀顯著加劇,運(yùn)動耐受力降低,健康人群中普遍出現(xiàn)癥狀,老年人和心臟病、肺病患者應(yīng)減少體力活動. | |
中度重污染 | |||
Ⅴ | 重污染 | 健康人運(yùn)動耐受力降低,由明顯強(qiáng)烈癥狀,提前出現(xiàn)某些疾病,老年人和病人應(yīng)當(dāng)留在室內(nèi),避免體力消耗,一般人群應(yīng)盡量減少戶外活動. |
現(xiàn)統(tǒng)計包頭市市區(qū)2016年10月至11月連續(xù)60天的空氣質(zhì)量指數(shù),制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求這60天中屬輕度污染的天數(shù);
(Ⅱ)將頻率分布直方圖中的五組從左到右依次命名為第一組,第二組,…,第五組.從第一組和第五組中的所有天數(shù)中抽出兩天,記它們的空氣質(zhì)量指數(shù)分別為,求事件的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),命題p:函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;q:函數(shù)僅在處有極值.
(1)若命題q是真命題,求a的取值范圍;
(2)若命題是真命題,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,,為的零點(diǎn):且恒成立,在區(qū)間上有最小值無最大值,則的最大值是( )
A. 11B. 13C. 15D. 17
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