【題目】已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.

（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設函數(shù)，證明時， .

【答案】(1) ;函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)詳見解析.

【解析】試題分析：（1）由題得，根據(jù)曲線在點處的切線方程，列出方程組，求得的值，得到的解析式，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）得 根據(jù)由，整理得，

設，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，即可作出證明.

試題解析：

（1）由題得，函數(shù)的定義域為， ，

因為曲線在點處的切線方程為，

所以解得.

令，得，

當時， ， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

當時， ， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由（1）得， .

由，得，即.

要證，需證，即證，

設，則要證，等價于證： .

令，則，

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， ,

即，故.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知命題p：方程 =1表示雙曲線，命題q：x∈（0，+∞），x2﹣mx+4≥0恒成立，若p∨q是真命題，且綈（p∧q）也是真命題，求m的取值范圍．

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【題目】關(guān)于圓周率，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請200名同學，每人隨機寫下一個都小于1的正實數(shù)對（x，y）；再統(tǒng)計兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對（x，y）的個數(shù)m；最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)m來估計的值．假如統(tǒng)計結(jié)果是m＝56，那么可以估計__________．（用分數(shù)表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求在上的最大值和最小值；

（2）設曲線與軸正半軸的交點為處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓過點，離心率為， ， 是橢圓的長軸的兩個端點（位于右側(cè)），是橢圓在軸正半軸上的頂點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點和，使得向量與共線？如果存在，求出直線方程；如果不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某班級舉行一次知識競賽活動，活動分為初賽和決賽兩個階段�，F(xiàn)將初賽答卷成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進行統(tǒng)計，制成如下頻率分布表．

分數(shù)（分數(shù)段）

頻數(shù)（人數(shù)）

頻率

[60，70）

①

0.16

[70，80）

22

②

[80，90）

14

0.28

[90，100]

③

④

合 計

50

1

（1）填充頻率分布表中的空格（在解答中直接寫出對應空格序號的答案）；

（2）決賽規(guī)則如下：參加決賽的每位同學依次口答4道小題，答對2道題就終止答題，并獲得一等獎。如果前三道題都答錯，就不再答第四題。某同學進入決賽，每道題答對的概率的值恰好與頻率分布表中不少于80分的頻率的值相同．

①求該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎的概率；

②記該同學決賽中答題個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設a，b∈R，ab≠0，給出下面四個命題：①a2+b2≥﹣2ab；② ≥2；③若a＜b，則ac2＜bc2；④若 ．則a＞b；其中真命題有（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，P是雙曲線 (a>0，b>0，xy≠0)上的動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的焦點，M是∠F1PF2的平分線上一點，且．某同學用以下方法研究|OM|：延長F2M交PF1于點N，可知△PNF2為等腰三角形，且M為F2N的中點，得|OM|=|NF1|=…=a。類似地：P是橢圓 (a>b>0，xy≠0)上的動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點，M是∠F1PF2的平分線上一點，且，則|OM|的取值范圍是________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓C：過點（0，4），離心率為
（1）求C的方程；
（2）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度．

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