Question

【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的值域?yàn)?/span>R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.(2) .

【解析】試題分析：(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論m的范圍得到函數(shù)的值域,從而確定m的具體范圍即可.

試題解析：（1）.

由得，由得.

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2）.

當(dāng)時(shí)， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.

1° 當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，值域?yàn)?/span>，

在上單調(diào)遞減，值域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>的值域?yàn)?/span>R，所以，即.（*）

由（1）可知當(dāng)時(shí)， ，故（*）不成立.

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，

所以當(dāng)時(shí)， 恒成立，因此.

2° 當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，即.

在（m，＋ ）上單調(diào)遞減，值域?yàn)?/span>.

因?yàn)?/span>的值域?yàn)?/span>R，所以，即.

綜合1°，2°可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.