【題目】已知函數(shù)，在原點處切線的斜率為，數(shù)列滿足為常數(shù)且，．

（1）求的解析式；

（2）計算，并由此猜想出數(shù)列的通項公式；

（3）用數(shù)學歸納法證明你的猜想．

【答案】（1）；（2） ；（3）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）求出的導函數(shù)，由函數(shù)在原點處切線的斜率為可得，可求得的值，從而可得的解析式；（2）由函數(shù)解析式，可得遞推關系，根據(jù)遞推關系可依次求出的值，觀察前四項共同規(guī)律可猜測出數(shù)列的通項公式；（3）先驗證 時猜想成立，再假設 時猜想成立，只需證明 時，猜想也成立即可.

試題解析：（1）由已知得，，.

（2），則，

，，

由此猜想數(shù)列的通項公式應為．

（3）①當時，猜想顯然成立，

②假設時，猜想成立，即，

則當時，，

即當時，猜想成立．由①②知，對一切正整數(shù)都成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得.

(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程；

(2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；

(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄．

附：線性回歸方程中，

，其中為樣本平均值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】環(huán)境污染已經(jīng)觸目驚心，環(huán)境質(zhì)量已經(jīng)成為“十三五”實現(xiàn)全面建成小康社會奮斗目標的短板和瓶頸。綿陽某化工廠每一天中污水污染指數(shù)與時刻（時）的函數(shù)關系為其中為污水治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且

（1）若，求一天中哪個時刻污水污染指數(shù)最低；

（2）規(guī)定每天中的最大值作為當天的污水污染指數(shù)，要使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過，則調(diào)節(jié)參數(shù)應控制在什么范圍內(nèi)？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（2-x），當x∈[0，1]時f（x）=x2，則函數(shù)g（x）=|sin（πx）|-f（x）在區(qū)間[-1，3]上的所有零點的和為（　�。�

A. 6 B. 7 C. 8 D. 10

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),角的終邊經(jīng)過點.若是的圖象上任意兩點,且當時,的最小值為.

(1)求 或的值；

(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)當時,不等式恒成立,求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，則稱函數(shù)f（x）有“漂移點”．

（1）用零點存在定理證明：函數(shù)f（x）=x2+2x在[0，1]上有“漂移點”；

（2）若函數(shù)g（x）=lg（）在（0，+∞）上有“漂移點”，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=．

（1）若f（2）=a，求a的值；

（2）當a=2時，若對任意互不相等的實數(shù)x1，x2∈（m，m+4），都有＞0成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）判斷函數(shù)g（x）=f（x）-x-2a（＜a＜0）在R上的零點的個數(shù)，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓M：x2+y2+ay=0（a＞0），直線l：x-7y-2=0，且直線l與圓M相交于不同的兩點A，B．

（1）若a=4，求弦AB的長；

（2）設直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，若k1+k2=，求圓M的方程．

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