已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的最小值;
(3)若,使成立,求實(shí)數(shù)取值范圍.
(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,,遞增區(qū)間是。
(2)的最小值為。
(3)。
解析試題分析:函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3d/f/vh36n.png" style="vertical-align:middle;" />,且 2分
(1)函數(shù)
當(dāng)且時(shí), ;當(dāng)時(shí),
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,,遞增區(qū)間是 .5分
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0a/6/1flvu2.png" style="vertical-align:middle;" />在上為減函數(shù),故在上恒成立
所以當(dāng)時(shí),
又
故當(dāng),即時(shí),
所以于是,故的最小值為 .8分
(3)命題“若,使成立”等價(jià)于
“當(dāng)時(shí),有”
由(2),當(dāng)時(shí),,所以
問題等價(jià)于: “當(dāng)時(shí),有” 9分
(i)當(dāng)時(shí),由(2)在上為減函數(shù)
則,故
(ii)當(dāng)時(shí),由于在上為增函數(shù)
故的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bd/b/la7fa1.png" style="vertical-align:middle;" />,即
由的單調(diào)性值域知
唯一,使,且滿足:
當(dāng)時(shí),,為減函數(shù);當(dāng)時(shí),,為增函數(shù);所以,
所以,,與矛盾,不合題意
綜上, 12分
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,不等式恒成立問題。
點(diǎn)評(píng):難題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本問題,主要依據(jù)“在給定區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)值非負(fù),函數(shù)為增函數(shù);導(dǎo)函數(shù)值非正,函數(shù)為減函數(shù)”。確定函數(shù)的極值,遵循“求導(dǎo)數(shù),求駐點(diǎn),研究單調(diào)性,求極值”。不等式恒成立問題,往往通過構(gòu)造函數(shù),研究函數(shù)的最值,使問題得到解決。本題的難點(diǎn)在于利用轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù) ().
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)試通過研究函數(shù)()的單調(diào)性證明:當(dāng)時(shí),;
(Ⅲ)證明:當(dāng),且均為正實(shí)數(shù), 時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的極大值.
(Ⅱ)求證:存在,使;
(Ⅲ)對(duì)于函數(shù)與定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,b,使得和都成立,則稱直線為函數(shù)與的分界線.試探究函數(shù)與是否存在“分界線”?若存在,請(qǐng)給予證明,并求出k,b的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中是常數(shù)且.
(1)當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
(3)設(shè)是正整數(shù),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知定義在上的函數(shù)(其中).
(Ⅰ)解關(guān)于的不等式;
(Ⅱ)若不等式對(duì)任意恒成立,求的取值范圍.
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已知
(1)求的最小值
(2)由(1)推出的最小值C
(不必寫出推理過程,只要求寫出結(jié)果)
(3)在(2)的條件下,已知函數(shù)若對(duì)于任意的,恒有成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)圖像上的點(diǎn)到直線距離的最小值為,求的值;
(2)關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)定義域上的任意實(shí)數(shù),若存在常數(shù),使得和都成立,則稱直線為函數(shù)的
“分界線”.設(shè),試探究是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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