【題目】一個(gè)圓經(jīng)過點(diǎn)，且和直線相切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，若軸是的角平分線，證明直線過定點(diǎn)．

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）圓心到定點(diǎn)與到定直線的距離相等，可知圓心的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，求出方程即可；

（2）易知直線斜率存在且不為零，可設(shè)直線，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得關(guān)于的一元二次方程，由軸是的角平分線，可得，整理可求得，再結(jié)合韋達(dá)定理，從而可求得的值，進(jìn)而可求得直線過定點(diǎn).

（1）由題意，圓心到定點(diǎn)與到定直線的距離相等，

根據(jù)拋物線的定義可知，圓心的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，其方程為.

（2）由題可知，直線與C有兩個(gè)交點(diǎn)且不垂于于軸，

所以直線斜率存在且不為零，設(shè)直線，，，

聯(lián)立，可得，

則，且，，

又，，軸是的角平分線，

所以，整理可得，

所以，即，此時(shí)滿足，故：，

所以，直線PQ過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正三棱錐每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，球心在正三棱錐的內(nèi)部．球的半徑為，且．若過作球的截面，所得圓周長(zhǎng)的最大值是，則該三棱錐的側(cè)面積為_______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】1995年聯(lián)合國教科文組織把每年4月23日確定為“世界讀書日”，為提升學(xué)生的文化素養(yǎng)，養(yǎng)成多讀書、讀好書的文化生活習(xí)慣，某中學(xué)開展圖書源流活動(dòng)，讓圖書發(fā)揮它的最大價(jià)值，該校某班圖書角有文學(xué)名著類圖書5本，學(xué)科輔導(dǎo)書類圖書3本，其它類圖書2本，共10本不同的圖書，該班班委會(huì)從圖書角的10本不同的圖書中隨機(jī)挑選3本不同的圖書參加學(xué)校的圖書漂流活動(dòng)。

（I）求選出的三本圖書來自于兩個(gè)不同類別的概率：

（II）設(shè)隨機(jī)變量表示選出的3本圖書中，文學(xué)名著類本數(shù)與學(xué)科輔導(dǎo)類本數(shù)差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過點(diǎn)，和直線相切，且圓心在直線上，

（1）求圓的方程

（2）已知直線經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓:過點(diǎn)和點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn), ,是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出實(shí)數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x﹣4y+1=0的交點(diǎn)，且面積最小的圓方程為（ ）

A.(x+)2+(y+)2=B.(x﹣)2+(y﹣)2=

C.(x﹣)2+(y+)2=D.(x+)2+(y﹣)2=

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（且）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，討論函數(shù)在區(qū)間上的最值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)代社會(huì)，“鼠標(biāo)手”已成為常見病，一次實(shí)驗(yàn)中，10名實(shí)驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行160分鐘的連續(xù)鼠標(biāo)點(diǎn)擊游戲，每位實(shí)驗(yàn)對(duì)象完成的游戲關(guān)卡一樣，鼠標(biāo)點(diǎn)擊頻率平均為180次/分鐘，實(shí)驗(yàn)研究人員測(cè)試了實(shí)驗(yàn)對(duì)象使用鼠標(biāo)前后的握力變化，前臂表面肌電頻率（）等指標(biāo).

（I）10 名實(shí)驗(yàn)對(duì)象實(shí)驗(yàn)前、后握力（單位：）測(cè)試結(jié)果如下：

實(shí)驗(yàn)前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376

實(shí)驗(yàn)后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361

完成莖葉圖，并計(jì)算實(shí)驗(yàn)后握力平均值比實(shí)驗(yàn)前握力的平均值下降了多少？

（Ⅱ）實(shí)驗(yàn)過程中測(cè)得時(shí)間（分）與10名實(shí)驗(yàn)對(duì)象前臂表面肌電頻率（）的中的位數(shù)（）的九組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為，.建立關(guān)于時(shí)間的線性回歸方程；

（Ⅲ）若肌肉肌電水平顯著下降，提示肌肉明顯進(jìn)入疲勞狀態(tài)，根據(jù)（Ⅱ）中9組數(shù)據(jù)分析，使用鼠標(biāo)多少分鐘就該進(jìn)行休息了？

參考數(shù)據(jù)：；

參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線交于，記點(diǎn)的軌跡為.

（Ⅰ）求軌跡的方程；

（Ⅱ）若動(dòng)直線：與軌跡交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)在軌跡上，且四邊形為平行四邊形.證明：四邊形的面積為定值.

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