【題目】已知函數(shù)).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若,討論函數(shù)在區(qū)間上的最值.

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

1)求出,分三種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別由求出的范圍,可得增區(qū)間;由求出的范圍, 可得減區(qū)間;(2)由(1)得,當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,分四種情況討論,分別利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,利用單調(diào)性求出極值,與的值比較大小,進而可得結(jié)果.

(1)函數(shù)的定義域是.

.

當(dāng)時,令,得;令,得,

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;

當(dāng)時,令,得;令,得,

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.

(2)由(1)得,當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.

①當(dāng),即時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以函數(shù)上的最大值為,最小值為;

②當(dāng),即時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以函數(shù)上的最大值為,最小值為;

③當(dāng),即時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以函數(shù)上的最小值為.

最大值為中的較大者.下面比較的大小:

因為 ,

,得,化簡得

解得 .因為,且

所以.

所以當(dāng)時,,函數(shù)上的最大值為;

當(dāng)時,,函數(shù)上的最大值為;

當(dāng)時,,函數(shù)上的最大值為.

綜上,當(dāng)時,函數(shù)上的最大值為,最小值為

當(dāng)時,函數(shù)上的最大值為;最小值為;

當(dāng)時,函數(shù)上的最大值為,最小值為;

當(dāng)時,函數(shù)上的最大值為,最小值為.

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