【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點是圓上的動點,定點,線段的垂直平分線交,記點的軌跡為.

(Ⅰ)求軌跡的方程;

(Ⅱ)若動直線與軌跡交于不同的兩點、,點在軌跡上,且四邊形為平行四邊形.證明:四邊形的面積為定值.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見證明

【解析】

()由題意利用圖形的幾何性質(zhì)和橢圓的定義即可確定軌跡方程;

()聯(lián)立直線方程與()中求得的軌跡方程,結(jié)合韋達(dá)定理和平行四邊形的性質(zhì)得到面積的表達(dá)式,進(jìn)一步計算即可證得其面積為定值.

(Ⅰ)由題意:,

∴根據(jù)橢圓的定義,點的軌跡是以、為焦點的橢圓,其中,.

,

∴軌跡的方程為:;

(Ⅱ)證明:設(shè)、,

聯(lián)立方程組,得

,∴,

,

的中點,∴,

在橢圓上,∴

,

到直線的距離,

.

∴四邊形的面積為定值.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一個圓經(jīng)過點,且和直線相切.

1)求動圓圓心的軌跡的方程;

2)已知點,設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點,若軸是的角平分線,證明直線過定點.

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【題目】已知函數(shù),.

(1)若,求實數(shù)的取值范圍;

(2)設(shè)函數(shù)的極大值為,極小值為,求的取值范圍.

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【題目】已知的頂點,邊上的中線所在直線方程為,的角平分線所在直線方程為

(I)求頂點的坐標(biāo);

(II)求直線的方程

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【題目】在四棱錐中,四邊形是矩形,平面平面,點分別為中點.

1)求證:平面.

2)若.

①求二面角的余弦值.

②求三棱錐的體積.

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【題目】已知函數(shù),

(1)若直線與函數(shù)的圖象相切,求實數(shù)的值;

(2)若存在,,使,且,求實數(shù)的取值范圍;

(3)當(dāng)時,求證:

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【題目】已知數(shù)列滿足),).

(1)若,證明:是等比數(shù)列;

(2)若存在,使得,,成等差數(shù)列.

① 求數(shù)列的通項公式;

② 證明:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓,為左、右焦點,直線交橢圓于,兩點.

1)若垂直于軸時,求;

2)當(dāng)時,軸上方時,求,的坐標(biāo);

3)若直線軸于,直線軸于,是否存在直線,使,若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了在夏季降溫和冬季取暖時減少能源消耗,業(yè)主決定對房屋的屋頂和外墻噴涂某種新型隔熱材料,該材料有效使用年限為20年.已知房屋外表噴一層這種隔熱材料的費用為每毫米厚6萬元,且每年的能源消耗費用(萬元)與隔熱層厚度(毫米)滿足關(guān)系:.設(shè)為隔熱層建造費用與年的能源消耗費用之和.

(1)請解釋的實際意義,并求的表達(dá)式;

(2)當(dāng)隔熱層噴涂厚度為多少毫米時,業(yè)主所付的總費用最少?并求此時與不建隔熱層相比較,業(yè)主可節(jié)省多少錢?

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