如圖，在四棱錐中，，，為正三角形，且平面平面．

（1）證明：；
（2）求二面角的余弦值．
（1）證明見解析；（2） ．

試題分析：（1）取的中點(diǎn)，然后利用矩形及正三角形的性質(zhì)可證明，，從而可證明結(jié)果；（2）可考慮分別以，為軸，軸，軸建立空間直線坐標(biāo)系，通過求兩個平面的法向量的夾角來求二面角的余弦值．或考慮通過過點(diǎn)作，然后證明為所求二面角的一個平面角，再在中進(jìn)行計算．
（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，
∵為正三角形，∴．
又∵在四邊形中，
，∴,且，
∴四邊形ABCO為平行四邊形，∴ ，
∴，∴．
（2）(法一)：由（1）知，且平面平面∴平面，所以分別以，為軸，軸，軸建立如圖，

所示的直角坐標(biāo)系，并設(shè)，則，,
∴，，，，，
∴，,,         ．
設(shè)平面，平面的法向量分別為，
則∴
∴分別取平面，平面的一個法向量，
∴，
∴二面角的余弦值為．
(法一)：由（1）知，且平面平面，∴平面，
過點(diǎn)作，垂足為，連接，則，于是為所求二面角的一個平面角，
設(shè)，則，，，
∴∴二面角的余弦值為．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正方體中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面；
（3）設(shè)為正方體棱上一點(diǎn)，給出滿足條件的點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，PA⊥平面ABC，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在弧AB上，且OM∥AC.

(1)求證：平面MOE∥平面PAC.
(2)求證：平面PAC⊥平面PCB.
(3)設(shè)二面角M—BP—C的大小為θ，求cos θ的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，平面，，，是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）若以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、、分別是軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，已經(jīng)計算得是平面的法向量，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為.點(diǎn)分別是棱上共面的四點(diǎn)，平面平面，平面.
證明：
若，求四邊形的面積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，BC邊上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是（　�。�
A．α⊥β，且m?αB．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

兩直線與垂直，則（   ）
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖是一正方體的表面展開圖，B、N、Q都是所在棱的中點(diǎn)，則在原正方體中，①AB與CD相交；②MN∥PQ；③AB∥PE；④MN與CD異面；⑤MN∥平面PQC.
其中真命題的是________(填序號)．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案