Question

如圖，已知四棱錐，，，
平面，∥，為的中點(diǎn)．

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求四棱錐的體積．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

試題分析：（1）線(xiàn)面平行判定定理，關(guān)鍵找線(xiàn)線(xiàn)平行.本題利用平行四邊形找平行，取中點(diǎn)，則易得；所以四邊形為平行四邊形，即得應(yīng)用定理證明時(shí)，需寫(xiě)出定理所需條件.（2）證明面面垂直，關(guān)鍵證線(xiàn)面垂直.分析條件知，須證平面，由（1）知，只需證平面.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042213043525.png" style="vertical-align:middle;" />為等邊三角形，為的中點(diǎn) ，所以；又可由平面得，這樣就可由線(xiàn)面垂直判定定理得到平面.（3）求三棱錐體積，關(guān)鍵找出高線(xiàn)或平面的垂線(xiàn).利用面面垂直可找出面的垂線(xiàn).因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042212591404.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以面平面，過(guò)A作兩平面交線(xiàn)的垂線(xiàn)，則有平面.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042213043525.png" style="vertical-align:middle;" />為等邊三角形，所以為中點(diǎn).
試題解析：

解：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，
分別是，的中點(diǎn)，
∥，且.
∥，              2分
與平行且相等.
四邊形為平行四邊形，
∥.               3分
又平面，平面.
∥平面.                                      4分
（2）為等邊三角形，為的中點(diǎn)，
.                                          5分
又平面，平面.
，                                         6分
又，
平面.                                    7分
∥，平面，                       8分
平面，
平面平面.                             10分
（3）取中點(diǎn),連結(jié).
,
.
平面，平面
，
又，
平面，
是四棱錐的高，且，           12分
.           14分