Question

如圖，將邊長為2，有一個(gè)銳角為60°的菱形，沿著較短的對(duì)角線對(duì)折，使得，為的中點(diǎn).若P為AC上的點(diǎn)，且滿足。

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求三棱錐的體積；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意和是等邊三角形，且為中點(diǎn)，所以垂直,再利用長度，可知滿足勾股定理，所以垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)論得證；（Ⅱ）根據(jù)知點(diǎn)為為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以三棱錐的底面是邊長為的正三角形，高由（1）知為,所以三棱錐的體積為；（Ⅲ）解法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040306224454159405/SYS201504030623119332264064_DA/SYS201504030623119332264064_DA.020.png">垂直平面，所以過作的垂線，垂足為，連接,則角為所求的二面角的平面角，在直角三角形中，求得二面角的正切值，進(jìn)而求得正弦；解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，找到平面的法向量和平面的法向量，再利用二面角的余弦值.

試題解析：（Ⅰ）連接，由已知得和是等邊三角形，為的中點(diǎn)，

又邊長為2，

由于，在中，

，

（Ⅱ）, ；

（Ⅲ）解法一：過，連接AE，

，

即二面角的余弦值為.

解法二：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

顯然，平面的法向量為

設(shè)：平面的法向量，

由,，

∴二面角的余弦值為.

考點(diǎn)：1.線面垂直的判定定理；2.三棱錐的體積；3.二面角.