Question

如圖，將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱錐D-ABC中，給出下列三個(gè)命題：
①△DBC是等邊三角形；  
②AC⊥BD；  
③三棱錐D-ABC的體積是

2

6

；
④AB與CD所成的角是60°．
其中正確命題的序號是

 

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：過D作DO⊥AC于O，連接BO，利用勾股定理求得BD長，可得①正確；
通過證明AC⊥平面BOD，證明AC⊥BD，可得②正確；
利用棱錐的體積公式計(jì)算三棱錐的體積，可得③錯(cuò)誤；
建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線AB與CD所成的角，可得④正確．

解答： 解：過D作DO⊥AC于O，連接BO，由題意知：DO=BO=

2

2

，
∵平面ADC⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥BO，∴BD=1，即△BCD為等邊三角形，①正確；
∵O為AC的中點(diǎn)，AB=BC，∴BO⊥AC，∴AC⊥平面BOD，BD?平面BOD，∴AC⊥BD，②正確；
∵V_D-ABC=

1

3

×

1

2

×1×1×

2

2

=

2

12

，∴③錯(cuò)誤；
建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則

AB

=（-

2

2

，

2

2

，0），

CD

=（

2

2

，0，

2

2

），
∴cos＜

AB

，

CD

＞=-

1

2

，∴異面直線AB與CD所成的角是60°，∴④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評：本題考查了面面垂直的性質(zhì)及異面直線所成角的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算能力，要熟練掌握利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線所成的角的方法．