【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線(xiàn) 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)),點(diǎn) 是曲線(xiàn) 上的一動(dòng)點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線(xiàn) 的方程為 .
(Ⅰ)求線(xiàn)段 的中點(diǎn) 的軌跡的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求曲線(xiàn) 上的點(diǎn)到直線(xiàn) 的距離的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)線(xiàn)段 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 ( 為參數(shù)),
消去參數(shù)得 的軌跡的直角坐標(biāo)方程為 ,
由互化公式可得
故答案為:點(diǎn) 的軌跡的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅱ)由直線(xiàn) 的極坐標(biāo)方程為 ,得 ,
所以直線(xiàn) 的直角坐標(biāo)方程為 ,
曲線(xiàn) 的普通方程為 ,它表示以 為圓心,2為半徑的圓,
則圓心到直線(xiàn) 的距離為 ,所以直線(xiàn) 與圓相離,
故答案為:曲線(xiàn) 上的點(diǎn)到直線(xiàn) 的距離的最大值為
【解析】(1)設(shè)OP的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),用中點(diǎn)坐標(biāo)公式將點(diǎn)M的坐標(biāo)表示為為參數(shù)的參數(shù)方程,先普通方程,再化為極坐標(biāo)方程.
(2)將直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程用公式化為普通方程,當(dāng)直線(xiàn)與圓相離時(shí),圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的點(diǎn)的距離最大值就是圓心到直線(xiàn)的距離加上半徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣ x2+ x+ ,則 ( )的值為( )
A.2016
B.1008
C.504
D.2017
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=2x2-ln x在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.[1,+∞)
B.[1,2)
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .(Ⅰ)求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)函數(shù) 在 上的最大值與最小值的差為 ,求 的表達(dá)式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,且點(diǎn) 滿(mǎn)足條件 ,若點(diǎn) 關(guān)于直線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 ,則線(xiàn)段 的最小值是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)為 ,準(zhǔn)線(xiàn)為 ,點(diǎn) 在拋物線(xiàn) 上,已知以點(diǎn) 為圓心, 為半徑的圓 交 于 兩點(diǎn).
(Ⅰ)若 , 的面積為4,求拋物線(xiàn) 的方程;
(Ⅱ)若 三點(diǎn)在同一條直線(xiàn) 上,直線(xiàn) 與 平行,且 與拋物線(xiàn) 只有一個(gè)公共點(diǎn),求直線(xiàn) 的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓 : ( )的焦距與橢圓 : 的短軸長(zhǎng)相等,且 與 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等,這兩個(gè)橢圓在第一象限的交點(diǎn)為 ,直線(xiàn) 經(jīng)過(guò) 在 軸正半軸上的頂點(diǎn) 且與直線(xiàn) ( 為坐標(biāo)原點(diǎn))垂直, 與 的另一個(gè)交點(diǎn)為 , 與 交于 , 兩點(diǎn).
(1)求 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求 .
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【題目】已知中心在原點(diǎn) ,焦點(diǎn)在 軸上,離心率為 的橢圓過(guò)點(diǎn) .
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓與 軸的非負(fù)半軸交于點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) 作互相垂直的兩條直線(xiàn),分別交橢圓于點(diǎn) , 兩點(diǎn),連接 ,求 的面積的最大值.
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【題目】如圖,在直三棱柱 中, 分別是 和 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面 ;
(Ⅱ)若 上一點(diǎn) 滿(mǎn)足 ,求 與 所成角的余弦值.
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