已知橢圓C:()的焦距為4,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn),T為直線上任意一點(diǎn),過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P,Q.
(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn));
(ii)當(dāng)最小時(shí),求點(diǎn)T的坐標(biāo).
(1) ;(2)
解析試題分析:(1)因?yàn)榻咕酁?,所以,又,由此可求出的值,從而求得橢圓的方程.(2)橢圓方程化為.設(shè)PQ的方程為,代入橢圓方程得:.(。┰O(shè)PQ的中點(diǎn)為,求出,只要,即證得OT平分線段PQ.(ⅱ)可用表示出PQ,TF可得:.
再根據(jù)取等號(hào)的條件,可得T的坐標(biāo).
試題解答:(1),又.
(2)橢圓方程化為.
(。┰O(shè)PQ的方程為,代入橢圓方程得:.
設(shè)PQ的中點(diǎn)為,則
又TF的方程為,則得,
所以,即OT過(guò)PQ的中點(diǎn),即OT平分線段PQ.
(ⅱ),又,所以
.
當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)T的坐標(biāo)為.
【考點(diǎn)定位】1、橢圓的方程;2、直線與圓錐曲線;3、最值問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線方程為,過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn),,過(guò)分別作拋物線的切線,兩切線的交點(diǎn)為.
(1)求的值;
(2)求點(diǎn)的縱坐標(biāo);
(3)求△面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知點(diǎn)C(1,0),點(diǎn)A、B是⊙O:x2+y2=9上任意兩個(gè)不同的點(diǎn),且滿(mǎn)足·=0,設(shè)P為弦AB的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)P的軌跡T的方程;
(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn):它到直線x=-1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離?若存在,求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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如圖,等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.
(1)求拋物線E的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y=-1相交于點(diǎn)Q,證明以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上某定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
無(wú)論為任何實(shí)數(shù),直線與雙曲線恒有公共點(diǎn).
(1)求雙曲線的離心率的取值范圍;
(2)若直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn),與雙曲線交于兩點(diǎn),并且滿(mǎn)足,求雙曲線的方程.
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已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn),且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)分別是橢圓的左右焦點(diǎn),是上一點(diǎn)且與軸垂直,直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為.
(1)若直線的斜率為,求的離心率;
(2)若直線在軸上的截距為,且,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1,記點(diǎn)的軌跡為.
(1)求軌跡為的方程
(2)設(shè)斜率為的直線過(guò)定點(diǎn),求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn),兩個(gè)公共點(diǎn),三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
過(guò)拋物線C:上的點(diǎn)M分別向C的準(zhǔn)線和x軸作垂線,兩條垂線及C的準(zhǔn)線和x軸圍成邊長(zhǎng)為4的正方形,點(diǎn)M在第一象限.
(1)求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),如果點(diǎn)M在直線AB的上方,求面積的最大值.
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