設(shè)分別是橢圓的左右焦點,是上一點且與軸垂直,直線與的另一個交點為.
(1)若直線的斜率為,求的離心率;
(2)若直線在軸上的截距為,且,求.
(1);(2)
解析試題分析:(1)由已知得,故直線的斜率為,結(jié)合得關(guān)于的方程,解方程得離心率的值;(2)依題意,直線和軸的交點是線段的中點.故,①
又因為,得,從而得三個點坐標(biāo)的關(guān)系,將點的坐標(biāo)表示出來代入橢圓方程的,得另一個關(guān)于的方程并聯(lián)立方程①求即可.
(1)根據(jù)及題設(shè)知,.將代入,解得,
(舍去).故的離心率為.
(2)由題意,原點為的中點,軸,所以直線與軸的交點是線段的中點.故,即.①由得.設(shè),由題意得,,則即代入C的方程,得,②將①及代入②得
.解得,,故.
考點:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì);2、中點坐標(biāo)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓C:=1(a>b≥1)的離心率e=,且橢圓C上的點到點Q (0,3)的距離最大值為4,過點M(3,0)的直線交橢圓C于點A、B.
(1)求橢圓C的方程。
(2)設(shè)P為橢圓上一點,且滿足(O為坐標(biāo)原點),當(dāng)|AB|<時,求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過點(4,-).
(1)求雙曲線方程;
(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0;
(3)求△F1MF2的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:()的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點,T為直線上任意一點,過F作TF的垂線交橢圓C于點P,Q.
(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點);
(ii)當(dāng)最小時,求點T的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,直線被橢圓截得的線段長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過原點的直線與橢圓交于兩點(不是橢圓的頂點).點在橢圓上,且,直線與軸、軸分別交于兩點.
(i)設(shè)直線的斜率分別為,證明存在常數(shù)使得,并求出的值;
(ii)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
如圖,已知雙曲線的右焦點,點分別在的兩條漸近線上,軸,∥(為坐標(biāo)原點).
(1)求雙曲線的方程;
(2)過上一點的直線與直線相交于點,與直線相交于點,證明點在上移動時,恒為定值,并求此定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓()的左、右焦點為,右頂點為,上頂點為.已知.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)為橢圓上異于其頂點的一點,以線段為直徑的圓經(jīng)過點,經(jīng)過原點的直線與該圓相切,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的左右頂點分別為,離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點為曲線:上任一點(點不同于),直線與直線交于點,為線段的中點,試判斷直線與曲線的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的左右頂點分別為,離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點為曲線:上任一點(點不同于),直線與直線交于點,為線段的中點,試判斷直線與曲線的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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