已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線(xiàn)相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程.

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）利用題中條件求出的值，然后根據(jù)離心率求出的值，最后根據(jù)、、三者的關(guān)系求出的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分兩種情況進(jìn)行計(jì)算：第一種是在從點(diǎn)所引的兩條切線(xiàn)的斜率都存在的前提下，設(shè)兩條切線(xiàn)的斜率分別為、，并由兩條切線(xiàn)的垂直關(guān)系得到，并設(shè)從點(diǎn)所引的直線(xiàn)方程為，將此直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，利用得到有關(guān)的一元二次方程，最后利用以及韋達(dá)定理得到點(diǎn)的軌跡方程；第二種情況是兩條切線(xiàn)與坐標(biāo)軸垂直的情況下求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并驗(yàn)證點(diǎn)是否在第一種情況下所得到的軌跡上，從而得到點(diǎn)的軌跡方程.
（1）由題意知，且有，即，解得，
因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）①設(shè)從點(diǎn)所引的直線(xiàn)的方程為，即，
當(dāng)從點(diǎn)所引的橢圓的兩條切線(xiàn)的斜率都存在時(shí)，分別設(shè)為、，則，
將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程并化簡(jiǎn)得，
，
化簡(jiǎn)得，即，
則、是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則，
化簡(jiǎn)得；
②當(dāng)從點(diǎn)所引的兩條切線(xiàn)均與坐標(biāo)軸垂直，則的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)也在圓上.
綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為.
考點(diǎn)：本題以橢圓為載體，考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，將直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)利用的符號(hào)來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，計(jì)算量較大，從中也涉及了方程思想的靈活應(yīng)用，屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓Γ：(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)D(2，0)，E(1，)兩點(diǎn).
(1)求橢圓Γ的方程；
(2)若直線(xiàn)與橢圓Γ交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)G是線(xiàn)段AB中點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)射線(xiàn)OG交Γ于點(diǎn)Q，且.
①證明：
②求△AOB的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵已知過(guò)點(diǎn)（0，2）且斜率為1的直線(xiàn)交橢圓C于A 、B兩點(diǎn),求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度。．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)，為中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，求面積最大時(shí)，直線(xiàn)的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線(xiàn)交橢圓C于點(diǎn)P，Q.
（i）證明：OT平分線(xiàn)段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（ii）當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖5，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)和橢圓均過(guò)點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.
(1)求的方程；
(2)是否存在直線(xiàn)，使得與交于兩點(diǎn)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且？證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿(mǎn)分13分）
如圖，已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn),點(diǎn)分別在的兩條漸近線(xiàn)上，軸，∥(為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求雙曲線(xiàn)的方程；
（2）過(guò)上一點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，證明點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，圓是以為直徑的圓．
（1）若圓過(guò)原點(diǎn)，求圓的方程； 
（2）寫(xiě)出一個(gè)定圓的方程，使得無(wú)論點(diǎn)在橢圓的什么位置，該定圓總與圓相切,請(qǐng)寫(xiě)出你的探究過(guò)程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓方程；
（2）斜率為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，為直線(xiàn)上的一點(diǎn)，若△為等邊三角形，求直線(xiàn)的方程.

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