Question

過(guò)拋物線(xiàn)C：上的點(diǎn)M分別向C的準(zhǔn)線(xiàn)和x軸作垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)及C的準(zhǔn)線(xiàn)和x軸圍成邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)M在第一象限.
（1）求拋物線(xiàn)C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，如果點(diǎn)M在直線(xiàn)AB的上方，求面積的最大值.

Answer 1

（1）y²＝8x，(2，4)；（2）.

解析試題分析：本題主要考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、三角形面積公式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，由題意結(jié)合拋物線(xiàn)圖象得到M點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)方程中，解出P的值，從而得到拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及M點(diǎn)坐標(biāo)；第二問(wèn)，設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，利用M點(diǎn)，分別得到直線(xiàn)MA和直線(xiàn)MB的斜率，因?yàn)閮芍本�(xiàn)傾斜角互補(bǔ)，所以?xún)芍本�(xiàn)的斜率相加為0，整理得到y(tǒng)₁＋y₂＝－8，代入到中得到直線(xiàn)AB的斜率，設(shè)出直線(xiàn)AB的方程，利用M點(diǎn)在直線(xiàn)AB上方得到b的范圍，令直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，圖形有2個(gè)交點(diǎn)，所以方程的進(jìn)一步縮小b的范圍，，而用兩點(diǎn)間距離公式轉(zhuǎn)化，d是M到直線(xiàn)AB的距離，再利用導(dǎo)數(shù)求面積的最大值.
（1）拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)x＝－，依題意M(4－，4)，
則4²＝2p(4－)，解得p＝4．
故拋物線(xiàn)C的方程為y²＝8x，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，4)，    3分
（2）設(shè)．
直線(xiàn)MA的斜率，同理直線(xiàn)MB的斜率．
由題設(shè)有，整理得y₁＋y₂＝－8．
直線(xiàn)AB的斜率．      6分
設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝－x＋b．
由點(diǎn)M在直線(xiàn)AB的上方得4＞－2＋b，則b＜6．
由得y²＋8y－8b＝0．
由Δ＝64＋32b＞0，得b＞－2．于是－2＜b＜6．    9分
，
于是．
點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離，則△MAB的面積
．
設(shè)f(b)＝(b＋2)(6－b)²，則f¢(b)＝(6－b)(2－3b)．
當(dāng)時(shí)，f¢(x)＞0；當(dāng)時(shí)，f¢(x)＜0．
當(dāng)時(shí)，f(b)最大，從而S取得最大值．    12分
考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、三角形面積公式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.