已知數(shù)列滿足遞推式：．
(Ⅰ)若，求與的遞推關(guān)系（用表示）；
(Ⅱ)求證：．

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）要得與的遞推關(guān)系，首先找到與的遞推關(guān)系.由，
代入與的遞推關(guān)系便可得與的遞推關(guān)系．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

數(shù)列中涉及前項和的不等式的證明，一般有兩個大的方向，一種是先求和，后放縮；一種是先放縮，后求和.在本題中顯然不可能先求和.所以選擇先放縮后求和的方法.本題中還是一個有絕對值符號的式子，所以還應(yīng)去掉絕對值符號.在去絕對值符號時，需要對分奇數(shù)與偶數(shù)討論：，注意這里的分母，一個是加1，一個是減1，這種情況下，不能單獨放縮，而是將兩項相加后再放縮.
，這樣再分是奇數(shù)和偶數(shù)，就可使問題得證.
試題解析：（Ⅰ）…………………①
代入①式得，
即．
（Ⅱ）.
對分奇數(shù)與偶數(shù)討論：，則
，則
；
又
．
綜上所述，原不等式成立．
考點：1、遞推數(shù)列；2、不等式的證明.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列中，，且．為數(shù)列的前項和，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項的和；
（3）證明對一切，有．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2013年我國汽車擁有量已超過2億（目前只有中國和美國超過2億），為了控制汽車尾氣對環(huán)境的污染，國家鼓勵和補貼購買小排量汽車的消費者，同時在部分地區(qū)采取對新車限量上號.某市采取對新車限量上號政策，已知2013年年初汽車擁有量為（=100萬輛），第年（2013年為第1年，2014年為第2年，依次類推）年初的擁有量記為，該年的增長量和與的乘積成正比，比例系數(shù)為其中=200萬.
（1）證明：；
（2）用表示；并說明該市汽車總擁有量是否能控制在200萬輛內(nèi).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列，，，．
（1）求證：為等比數(shù)列，并求出通項公式；
（2）記數(shù)列 的前項和為且,求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的首項其中，令集合.
（Ⅰ）若，寫出集合中的所有的元素；
（Ⅱ）若，且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項構(gòu)成等比數(shù)列，求的所有可能取值構(gòu)成的集合；
（Ⅲ）求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，；又若是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，且滿足，其前項和為，.
(1)分別求數(shù)列，的通項公式，；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求的表達式，并求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知正項數(shù)列的前項和為，是與的等比中項.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）若，且，求數(shù)列的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若，求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列中，，前和
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.
（1）若，求及；
（2）求證：對任意，；
（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.

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