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已知數列中，，前和
（Ⅰ）求證：數列是等差數列； （Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）設數列的前項和為，是否存在實數，使得對一切正整數都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由.

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，．

解析試題分析：（Ⅰ）對條件式進行變形，得到遞推關系得證；（Ⅱ）由條件求出首項和公差即得；（Ⅲ）利用裂項相消法求出，再考察的上確界，可得的最小值.
試題解析：（Ⅰ）因為，所以，
所以，
整理，得，所以，
所以，
所以，所以，
所以，數列為等差數列。
（Ⅱ），，所以，即為公差，
所以；
（Ⅲ）因為，
所以，
所以對時，，且當時，，所以要使對一切正整數都成立，只要，所以存在實數使得對一切正整數都成立，的最小值為.
考點：等差數列、數列的求和、不等式、裂項相消法.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

數列，滿足.
（1）若是等差數列，求證：為等差數列；
（2）若，求數列的前項和.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列滿足遞推式：．
(Ⅰ)若，求與的遞推關系（用表示）；
(Ⅱ)求證：．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數同時滿足：①不等式 的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在，使得不等式成立 設數列的前項和為
（1）求數列的通項公式；
（2）設各項均不為零的數列中，所有滿足的正整數的個數稱為這個數列的變號數，令（為正整數），求數列的變號數

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

若數列的前項和為，對任意正整數都有，記．
（1）求,的值；
（2）求數列的通項公式；
（3）若求證：對任意．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設等差數列的前項和，且，.
（1）求數列的通項公式;
（2）若數列滿足，求數列的前項和.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知二次函數的圖象經過坐標原點，其導函數為,數列的前項和為,點均在函數的圖像上.
（1）求的解析式；
（2）求數列的通項公式；
（3）設,是數列的前n項和,求使得對所有都成立的最小正整數.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

數列滿足,且.
（1）求
（2）是否存在實數t,使得,且{}為等差數列?若存在,求出t的值;若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知正項數列在拋物線上；數列中，點在過點（0，1），以為斜率的直線上。
（1）求數列的通項公式；
（2）若成立，若存在，求出k值；若不存在，請說明理由；
（3）對任意正整數，不等式恒成立，求正數的取值范圍。

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