【題目】已知函數(shù) ,且f(1)=1,f(﹣2)=4.
(1)求a、b的值;
(2)已知定點A(1,0),設(shè)點P(x,y)是函數(shù)y=f(x)(x<﹣1)圖象上的任意一點,求|AP|的最小值,并求此時點P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)x∈[1,2]時,不等式 恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:由f(1)=1,f(﹣2)=4.

解得:


(2)解:由(1) ,

所以

令x+1=t,t<0,

=

因為x<﹣1,所以t<0,

所以,當(dāng) ,

所以

即AP的最小值是 ,此時

點P的坐標(biāo)是


(3)解:問題即為 對x∈[1,2]恒成立,

也就是 對x∈[1,2]恒成立,

要使問題有意義,0<m<1或m>2.

法一:在0<m<1或m>2下,問題化為 對x∈[1,2]恒成立,

對x∈[1,2]恒成立,mx﹣m≤x2≤mx+m對x∈[1,2]恒成立,

①當(dāng)x=1時, 或m>2,

②當(dāng)x≠1時, 對x∈(1,2]恒成立,

對于 對x∈(1,2]恒成立,等價于 ,

令t=x+1,x∈(1,2],則x=t﹣1,t∈(2,3], ,t∈(2,3]遞增,

,結(jié)合0<m<1或m>2,

∴m>2

對于 對x∈(1,2]恒成立,等價于

令t=x﹣1,x∈(1,2],則x=t+1,t∈(0,1],

,t∈(0,1]遞減,

,

∴m≤4,

∴0<m<1或2<m≤4,

綜上:2<m≤4(16分)

法二:問題即為 對x∈[1,2]恒成立,

也就是 對x∈[1,2]恒成立,

要使問題有意義,0<m<1或m>2.

故問題轉(zhuǎn)化為x|x﹣m|≤m對x∈[1,2]恒成立,

令g(x)=x|x﹣m|

①若0<m<1時,由于x∈[1,2],故g(x)=x(x﹣m)=x2﹣mx,g(x)在x∈[1,2]時單調(diào)遞增,

依題意g(2)≤m, ,舍去;

②若m>2,由于x∈[1,2],故 ,

考慮到 ,再分兩種情形:

(。 ,即2<m≤4,g(x)的最大值是 ,

依題意 ,即m≤4,

∴2<m≤4;

(ⅱ) ,即m>4,g(x)在x∈[1,2]時單調(diào)遞增,

故g(2)≤m,

∴2(m﹣2)≤m,

∴m≤4,舍去.

綜上可得,2<m≤4


【解析】(1)由f(1)=1,f(﹣2)=4,代入可方程,解方程即可求得關(guān)于a,b的解a,b;(2)由(1)可知 ,利用兩點間的距離個公式代入 ,結(jié)合x的范圍可求x+1=t<0,然后結(jié)合基本不等式式即可求解(3)問題即為 對x∈[1,2]恒成立,即 對x∈[1,2]恒成立,則0<m<1或m>2.法一:問題化為 對x∈[1,2]恒成立,mx﹣m≤x2≤mx+m對x∈[1,2]恒成立,從而可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值,利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解法二:問題即為 對x∈[1,2]恒成立,即 對x∈[1,2]恒成立,0<m<1或m>2.問題轉(zhuǎn)化為x|x﹣m|≤m對x∈[1,2]恒成立,令g(x)=x|x﹣m|,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求

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