Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）的極大值點(diǎn)為0（2）2

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，，因?yàn)?/span>恒大于，所以的正負(fù)等價(jià)于的正負(fù)，構(gòu)造新的函數(shù)，求導(dǎo)判斷的正負(fù)，從而求出的極值點(diǎn)；

（2）將的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，判斷的極大值的范圍，構(gòu)造關(guān)于的極大值的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其范圍，從而得到的范圍，求出整數(shù)的最小值.

因?yàn)?/span>，

令，，

因?yàn)楫?dāng)，，所以在上為減函數(shù)，

因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>在上為減函數(shù).

當(dāng)，，即，所以在為增函數(shù)，

當(dāng)，，即，所以在為減函數(shù)，

所以的極大值點(diǎn)為0.

（2），

由題意函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，

可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

令，則，

令，則，

即在上為減函數(shù)，

因?yàn)?/span>，，

，使得，即，

當(dāng)，，即，所以在為增函數(shù)，

當(dāng)，，即，所以在為減函數(shù)，

，

由得，所以，

代入得，

事實(shí)上，，即，

令，，，

帶入化簡得

，

又因?yàn)?/span>在區(qū)間為減函數(shù)，

所以，即，

所以，即，

所以整數(shù)的最小值為2.