【題目】已知函數(shù),為的導(dǎo)數(shù),函數(shù)在處取得最小值.
(1)求證:;
(2)若時,恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)見解析; (2).
【解析】
(1)對求導(dǎo),令,求導(dǎo)研究單調(diào)性,分析可得存在使得,即,即得證;
(2)分,兩種情況討論,當(dāng)時,轉(zhuǎn)化利用均值不等式即得證;當(dāng),有兩個不同的零點(diǎn),,分析可得的最小值為,分,討論即得解.
(1)由題意,
令,則,知為的增函數(shù),
因為,,
所以,存在使得,即.
所以,當(dāng)時,為減函數(shù),
當(dāng)時,為增函數(shù),
故當(dāng)時,取得最小值,也就是取得最小值.
故,于是有,即,
所以有,證畢.
(2)由(1)知,的最小值為,
①當(dāng),即時,為的增函數(shù),
所以,
,
由(1)中,得,即.
故滿足題意.
②當(dāng),即時,有兩個不同的零點(diǎn),,
且,即,
若時,為減函數(shù),(*)
若時,為增函數(shù),
所以的最小值為.
注意到時,,且此時,
(ⅰ)當(dāng)時,,
所以,即,
又
,
而,所以,即.
由于在下,恒有,所以.
(ⅱ)當(dāng)時,,
所以,
所以由(*)知時,為減函數(shù),
所以,不滿足時,恒成立,故舍去.
故滿足條件.
綜上所述:的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】受傳統(tǒng)觀念的影響,中國家庭教育過程中對子女教育的投入不遺余力,基礎(chǔ)教育消費(fèi)一直是中國家庭教育的重頭戲,升學(xué)壓力的逐漸增大,特別是對于升入重點(diǎn)學(xué)校的重視,導(dǎo)致很多家庭教育支出增長較快,下面是某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽樣調(diào)查某二線城市2012-2018年的家庭教育支出的折線圖.
(附:年份代碼1-7分別對應(yīng)的年份是2012-2018)
(1)從圖中的折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請求出相關(guān)系數(shù)r(精確到0.001),并指出是哪一層次的相關(guān)性?(相關(guān)系數(shù),相關(guān)性很強(qiáng);,相關(guān)性一般;,相關(guān)性較弱).
(2)建立y關(guān)于t的回歸方程;
(3)若2019年該地區(qū)家庭總支出為10萬元,預(yù)測家庭教育支出約為多少萬元?
附注:參考數(shù)據(jù):,,,,.
參考公式:,回歸方程,
其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,不等式的解集是.
(1)求的解析式;
(2)不等式組的正整數(shù)解只有一個,求實(shí)數(shù)k取值范圍;
(3)若對于任意,不等式恒成立,求t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠有兩臺不同機(jī)器和生產(chǎn)同一種產(chǎn)品各萬件,現(xiàn)從各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取件,進(jìn)行品質(zhì)鑒定,鑒定成績的莖葉圖如圖所示:
該產(chǎn)品的質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:鑒定成績達(dá)到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為優(yōu)秀;鑒定成績達(dá)到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為良好;鑒定成績達(dá)到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為合格.將這組數(shù)據(jù)的頻率視為整批產(chǎn)品的概率.
(1)完成下列列聯(lián)表,以產(chǎn)品等級是否達(dá)到良好以上(含良好)為判斷依據(jù),判斷能不能在誤差不超過的情況下,認(rèn)為機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品比機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品好;
生產(chǎn)的產(chǎn)品 | 生產(chǎn)的產(chǎn)品 | 合計 | |
良好以上(含良好) | |||
合格 | |||
合計 |
(
(3)已知優(yōu)秀等級產(chǎn)品的利潤為元/件,良好等級產(chǎn)品的利潤為元/件,合格等級產(chǎn)品的利潤為元/件,機(jī)器每生產(chǎn)萬件的成本為萬元,機(jī)器每生產(chǎn)萬件的成本為萬元;該工廠決定:按樣本數(shù)據(jù)測算,若收益之差不超過萬元,則仍然保留原來的兩臺機(jī)器.你認(rèn)為該工廠會仍然保留原來的兩臺機(jī)器嗎?
附:1.獨(dú)立性檢驗計算公式:.
2.臨界值表:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線和點(diǎn),直線與拋物線交于不同兩點(diǎn),,直線與拋物線交于另一點(diǎn).給出以下判斷:
①直線與直線的斜率乘積為;
②軸;
③以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切.
其中,所有正確判斷的序號是( )
A.①②③B.①②C.①③D.②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在曲線上,且為正三角形.
(1)求點(diǎn),的極坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)、在拋物線上,且、、三點(diǎn)共線.若圓的直徑為.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn),,分別過、兩點(diǎn)作拋物線的切線,,證明直線,的交點(diǎn)在定直線上,并求出該直線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)設(shè)函數(shù),若函數(shù)恰有一個零點(diǎn),求函數(shù)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正三棱柱(底面是正三角形,側(cè)棱垂直底面)的各條棱長均相等,為的中點(diǎn),、分別是、上的動點(diǎn)(含端點(diǎn)),且滿足.當(dāng)、運(yùn)動時,下列結(jié)論中正確的個數(shù)是( )
①平面平面;
②三棱錐的體積為定值;
③可能為直角三角形;
④平面與平面所成的銳二面角范圍為.
A.1B.2C.3D.4
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