Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，且F₂恰為拋物線x=

1

4

y²的焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線C與該拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為A，若△AF₁F₂是以AF₁為底邊的等腰三角形，則雙曲線C的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線的焦點(diǎn)，可得c=1，即有雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由△AF₁F₂是以AF₁為底邊的等腰三角形，結(jié)合拋物線的定義，可得A（1，2），再由雙曲線的定義可得a，由離心率公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：拋物線x=

1

4

y²的焦點(diǎn)為（1，0），
即雙曲線的c=1，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
可設(shè)A（（m，n）（n＞0），
則△AF₁F₂是以AF₁為底邊的等腰三角形，
則有AF₂=F₁F₂=2c=2，
又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，
由拋物線的定義可得AF₂=m+1=2，
則m=1，n=2，A（1，2），
由雙曲線的定義可得2a=AF₁-AF₂
=

22+22

-2，
即有a=

2

-1，
則離心率e=

c

a

=

1

2 -1

=1+

2

．
故答案為：1+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，用好拋物線和雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵．