Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，在上恒成立，求整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ，當時，在上為增函數(shù)；當時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).

(2) 整數(shù)的最大值為.

【解析】分析：（1）先求導數(shù)，再解不等式，根據(jù)a的大小討論單獨區(qū)間，（2）先參變分離，轉(zhuǎn)化研究函數(shù)最小值，利用導數(shù)可得單調(diào)性以及最小值取值范圍，最后確定整數(shù)的最大值.

詳解：（1），

當時，，則在上為增函數(shù)，

當時，由，得，則在上為增函數(shù)；

由，得，則在上為減函數(shù).

綜上，當時，在上為增函數(shù)；

當時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).

（2）由題意，恒成立，即，

設(shè)，則，

令.則，

所以，在上為增函數(shù)，

由，，，

故在上有唯一實數(shù)根，

使得，

則當時，；當時，,

即在上為減函數(shù)，上為增函數(shù)，

所以在處取得極小值，為，

∴，由，得整數(shù)的最大值為.