Question

【題目】已知橢圓C過(guò)點(diǎn)M（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為A（﹣1，0），B（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），且與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求△BPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

（1）由已知中焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得c值，進(jìn)而根據(jù)橢圓過(guò)M點(diǎn)，代入求出a，b可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理及基本不等式，求出三角形面積的最大值．

（1）∵橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為A（﹣1，0），B（1，0），

故c＝1，且橢圓的坐標(biāo)在x軸上

設(shè)橢圓C的方程為：

∵橢圓C過(guò)點(diǎn)M（1，），

∴

解得b2＝3，或b2

∴橢圓C的方程為：

（2）設(shè)直線l的方程為：x＝ky﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），則

由得：（4+3k2）y2﹣6ky﹣9＝0

則y1+y2，y1y2

∴S2c|y1﹣y2|

令t，（t≥1）

則S，

∵y在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)t＝1時(shí)，y取最小值，此時(shí)S取最大值3，

當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)k=0時(shí)，△BPQ的面積最大值為3.