【題目】已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．

（1）當時，證明：；

（2）設函數(shù)，當時，證明：；

（3）若數(shù)列滿足：，，．證明：．

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析．

【解析】

（1）由已知結(jié)合導數(shù)的幾何意義可求，然后結(jié)合導數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性，進而可求的范圍；

（2）先對求導，結(jié)合導數(shù)及（1）的結(jié)論可求函數(shù)的范圍，即可證；

（3）結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可證．

解：（1）由題知：，

所以，

所以，令，則，

當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；

所以，即

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以

又因為，所以，

所以

綜上知：當時，

（2）由題意，因為

所以

由（1）知：在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，

又因為當時，

所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以

由（1）可知：，又，∴

綜上可知：

（3）由（1）（2）知：

若，，若，

因為，∴，，

所以，，

當時，

當時，

所以，從而

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，點、、均在橢圓上，，點與點關于原點對稱，的最大值為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，求外接圓的半徑的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司準備上市一款新型轎車零配件，上市之前擬在其一個下屬4S店進行連續(xù)30天的試銷.定價為1000元/件.試銷結(jié)束后統(tǒng)計得到該4S店這30天內(nèi)的日銷售量（單位：件）的數(shù)據(jù)如下表：

日銷售量

40

60

80

100

頻數(shù)

9

12

6

3

（1）若該4S店試銷期間每個零件的進價為650元/件，求試銷連續(xù)30天中該零件日銷售總利潤不低于24500元的頻率；

（2）試銷結(jié)束后，這款零件正式上市，每個定價仍為1000元，但生產(chǎn)公司對該款零件不零售，只提供零件的整箱批發(fā)，大箱每箱有60件，批發(fā)價為550元/件；小箱每箱有45件，批發(fā)價為600元/件.該4S店決定每天批發(fā)兩箱，根據(jù)公司規(guī)定，當天沒銷售出的零件按批發(fā)價的9折轉(zhuǎn)給該公司的另一下屬4S店.假設該4店試銷后的連續(xù)30天的日銷售量（單位：件）的數(shù)據(jù)如下表：

日銷售量

50

70

90

110

頻數(shù)

5

15

8

2

（ⅰ）設該4S店試銷結(jié)束后連續(xù)30天每天批發(fā)兩大箱，這30天這款零件的總利潤；

（ⅱ）以總利潤作為決策依據(jù)，該4S店試銷結(jié)束后連續(xù)30天每天應該批發(fā)兩大箱還是兩小箱？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中，銀川市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次）通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：

組別

[30，40)

[40，50)

[50，60)

[60，70)

[70，80)

[80，90)

[90，100]

頻數(shù)

2

13

21

25

24

11

4

（1）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調(diào)查的得分ZN(μ，198)，μ近似為這100人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值作代表），

①求μ的值；

②利用該正態(tài)分布，求；

（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；

②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：

贈送話費的金額（單元：元）

20

50

概率

現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學期望．

參考數(shù)據(jù)與公式：．若，則，，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線相交于、兩點，求的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從拋物線上任意一點向軸作垂線段垂足為，點是線段上的一點，且滿足.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設直線與軌跡交于兩點，點為軌跡上異于的任意一點，直線分別與直線交于兩點.問：軸正半軸上是否存在定點使得以為直徑的圓過該定點？若存在，求出符合條件的定點坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖是某市10月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)越小表示空氣質(zhì)量越好，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，下列敘述中不正確的是（ ）

A.這14天中有7天空氣質(zhì)量優(yōu)良

B.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103

C.從10月11日到10月14日，空氣質(zhì)量越來越好

D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大的是10月5日至10月7日

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【題目】某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個．命中個數(shù)的莖葉圖如圖，則下面結(jié)論中錯誤的一個是(　　)

A. 甲的極差是29 B. 甲的中位數(shù)是24

C. 甲罰球命中率比乙高 D. 乙的眾數(shù)是21

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，P為的中點．

（1）證明：平面；

（2）設E為BC的中點，線段上是否存在一點Q，使得平面？若存在，求四棱錐的體積；若不存在，請說明理由．

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