Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，P為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）設(shè)E為BC的中點(diǎn)，線段上是否存在一點(diǎn)Q，使得平面？若存在，求四棱錐的體積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，

【解析】

（1）設(shè)交于點(diǎn)O，要證明平面，只需證明，即可；

（2）利用線面平行的判定定理可得當(dāng)Q為中點(diǎn)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)，∥平面，，只需求出即可.

（1）證明：在中，

∵，，，

∴，

又直三梭柱中，，則為正方形，

設(shè)交于點(diǎn)O，則O為的中點(diǎn)，且．

連接PA，，PO，

∵側(cè)棱底面ABC，P為的中點(diǎn)，則

，

，

故．

∴，

∵，且PO，平面，

∴平面．

（2）當(dāng)Q為中點(diǎn)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)，∥平面．

理出如下：

連接，∵E為BC的中點(diǎn)，∴則∥

∵平面，平面，

∴∥平面．

此時(shí)，Q到平面的距離等于B到平面的距離的一半，

又，，，所以平面，

所以，

∴．