【題目】從拋物線上任意一點(diǎn)向軸作垂線段垂足為,點(diǎn)是線段上的一點(diǎn),且滿足.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)直線與軌跡交于兩點(diǎn),點(diǎn)為軌跡上異于的任意一點(diǎn),直線分別與直線交于兩點(diǎn).問:軸正半軸上是否存在定點(diǎn)使得以為直徑的圓過該定點(diǎn)?若存在,求出符合條件的定點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)存在定點(diǎn),理由詳見解析.
【解析】
(1)設(shè)點(diǎn),利用關(guān)系,將點(diǎn)坐標(biāo)表示為形式,代入拋物線方程,即可求解;
(2)將直線與軌跡方程聯(lián)立,消去得到關(guān)于的一元二次方程,由根與系數(shù)關(guān)系,建立縱坐標(biāo)關(guān)系,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),求出直線方程,進(jìn)而求出坐標(biāo),先求出為原點(diǎn)時(shí), 為直徑的圓過軸正半軸上定點(diǎn),而后證明為曲線不同于任意點(diǎn)時(shí),判定該定點(diǎn)是否在以為直徑的圓上,即可求出結(jié)論.
(1)設(shè),則,
在拋物線上,
為曲線的方程;
(2)設(shè),
聯(lián)立,消去,
,
直線的斜率為,
直線方程為,
令,
所以,同理,
令中點(diǎn)坐標(biāo)為,
,
以為直徑的圓方程為,
令或(舍去)
當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)是以為直徑的圓過定點(diǎn),
當(dāng)不過原點(diǎn)時(shí),,
,
,以為直徑的圓過點(diǎn),
軸正半軸上存在定點(diǎn)使得以為直徑的圓過該定點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年1月8日,中共中央國務(wù)院隆重舉行國家科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)勵(lì)大會(huì),在科技界引發(fā)熱烈反響,自主創(chuàng)新正成為引領(lǐng)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的強(qiáng)勁動(dòng)力.某科研單位在研發(fā)新產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)了一種新材料,由大數(shù)據(jù)測得該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值y與這種新材料的含量x(單位:克)的關(guān)系為:當(dāng)時(shí),y是x的二次函數(shù);當(dāng)時(shí),測得數(shù)據(jù)如下表(部分):
x(單位:克) | 0 | 1 | 2 | 9 | … |
y | 0 | 3 | … |
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)該產(chǎn)品中的新材料含量x為何值時(shí),產(chǎn)品的性能指標(biāo)值最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(﹣1,0),,且∠AOC=x,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若x=,設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值;
(2)若R,求的最大值及對應(yīng)的x值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=PC=2,AB=PA=PB=2.
(1)證明:PC⊥平面ABC;
(2)若點(diǎn)D在棱AC上,且二面角D-PB-C為30°,求PD與平面PAB所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,梯形中,,,,,分別是,的中點(diǎn),將四邊形沿直線進(jìn)行翻折,給出下列四個(gè)結(jié)論:①;②③平面平面;④平面平面,則上述結(jié)論可能正確的是( ).
A.①③B.②③C.②④D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(題文)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,為等邊三角形,平面平面,,,,
(Ⅰ)設(shè)分別為的中點(diǎn),求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A的圓心為點(diǎn),圓過點(diǎn)且與被直線截得弦長為.不過原點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn),且.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)求三角形面積的最小值.
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