【題目】已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別為,左頂點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,且的面積為.

(1)求橢圓的方程;

(2)過(guò)原點(diǎn)且與軸不重合的直線交橢圓兩點(diǎn),直線分別與軸交于點(diǎn),.求證:以為直徑的圓恒過(guò)交點(diǎn),并求出面積的取值范圍.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,且△的面積為,結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、的方程組,求出 、,即可得橢圓的方程;(Ⅱ)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)(不妨設(shè)),則點(diǎn),由,消去,所以,可證明,同理,則以為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn),,可得,進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析:(Ⅰ),,

又點(diǎn)在橢圓上,,

解得,或(舍去),又,

所以橢圓的方程為

(Ⅱ),,

方法一:當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,為短軸的兩個(gè)端點(diǎn),則,,,則以為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn),

當(dāng)的斜率存在且不為零,設(shè)直線的方程為,

設(shè)點(diǎn)不妨設(shè)),則點(diǎn),

,消去,所以,

所以直線的方程為

因?yàn)橹本軸交于點(diǎn),令

即點(diǎn),同理可得點(diǎn)

,,

,同理

則以為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn),

當(dāng)的斜率存在且不為零時(shí),

面積為,

又當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,△面積為

面積的取值范圍是

方法二:當(dāng),不為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí),設(shè),

,由點(diǎn)在橢圓上,

所以直線的方程為,令

即點(diǎn),同理可得點(diǎn)

為直徑的圓可化為,

代入,化簡(jiǎn)得,

解得

為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn),,

,又,,

面積為

當(dāng),為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí),,△面積為

面積的取值范圍是

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