【題目】如圖,在四棱錐中,已知棱
,
,
兩兩垂直,長(zhǎng)度分別為1,2,2.若
(
),且向量
與
夾角的余弦值為
.
(1)求的值;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
試題(1)以為坐標(biāo)原點(diǎn),
、
、
分別為
、
、
軸建立空間直角坐標(biāo)系
,寫(xiě)出
,
的坐標(biāo),根據(jù)空間向量夾角余弦公式列出關(guān)于
的方程可求;(2)設(shè)岀平面
的法向量為
,根據(jù)
,進(jìn)而得到
,從而求出
,向量
的坐標(biāo)可以求出,從而可根據(jù)向量夾角余弦的公式求出
,從而得
和平面
所成角的正弦值.
試題解析:(1)依題意,以為坐標(biāo)原點(diǎn),
、
、
分別為
、
、
軸建立空間直角坐標(biāo)系
,因?yàn)?/span>
,所以
,從而
,則由
,解得
(舍去)或
.
(2)易得,
,設(shè)平面
的法向量
,
則,
,即
,且
,所以
,不妨取
,則平面
的一個(gè)法向量
,又易得
,故
,所以直線
與平面
所成角的正弦值為
.
考點(diǎn): 1、空間兩向量夾角余弦公式;2、利用向量求直線和平面說(shuō)成角的正弦.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線上動(dòng)點(diǎn)
與定點(diǎn)
的距離和它到定直線
的距離的比是常數(shù)
,若過(guò)
的動(dòng)直線
與曲線
相交于
兩點(diǎn)
(1)說(shuō)明曲線的形狀,并寫(xiě)出其標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)
,使得
恒成立?若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,DC⊥平面ABC,,
,
,P、Q分別為AE,AB的中點(diǎn).
(1)證明:平面
.
(2)求異面直線與
所成角的余弦值;
(3)求平面與平面
所成銳二面角的大小。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩點(diǎn)分別在
軸和
軸上運(yùn)動(dòng),且
,若動(dòng)點(diǎn)
滿(mǎn)足,動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為
.
(1)求的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線
的平行線交軌跡
于
兩點(diǎn),則
是否為定值?若是,求出該值;若不是,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)橢圓
的左焦點(diǎn)為
,左準(zhǔn)線為
為橢圓
上任意一點(diǎn),直線
,垂足為
,直線
與
交于點(diǎn)
.
(1)若,且
,直線
的方程為
.①求橢圓
的方程;②是否存在點(diǎn)
,使得
?若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(2)設(shè)直線與圓
交于
兩點(diǎn),求證:直線
均與圓
相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有人認(rèn)為在機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛技術(shù)上,男性?xún)?yōu)于女性.這是真的么?某社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)與交警合作隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了經(jīng)常開(kāi)車(chē)的名駕駛員最近三個(gè)月內(nèi)是否有交通事故或交通違法事件發(fā)生,得到下面的列聯(lián)表:
男 | 女 | 合計(jì) | |
無(wú) | 40 | 35 | 75 |
有 | 15 | 10 | 25 |
合計(jì) | 55 | 45 | 100 |
附:.
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 |
據(jù)此表,可得
A. 認(rèn)為機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的可靠性不足
B. 認(rèn)為機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的可靠性超過(guò)
C. 認(rèn)為機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的可靠性不足
D. 認(rèn)為機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的可靠性超過(guò)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線的焦點(diǎn)F在y軸上,其準(zhǔn)線與雙曲線的下準(zhǔn)線重合.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)A(,
)(
>0)是拋物線上一點(diǎn),且AF=
,B是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作拋物線的切線l,過(guò)點(diǎn)B作l的平行線l′,直線l′與拋物線交于點(diǎn)M,N,求△AMN的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C的方程為,離心率為
,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線
的焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)動(dòng)點(diǎn)的直線交
軸的負(fù)半軸于點(diǎn)
,交C于點(diǎn)
(
在第一象限),且
是線段
的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)
,延長(zhǎng)線
交C于點(diǎn)
.
(i)設(shè)直線,
的斜率分別為
,
,證明:
;
(ii)求直線的斜率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,AB=2AD=2,∠DAB=60°,PA=PC=2,且平面ACP⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求證:CB⊥PD;
(Ⅱ)求二面角C-PB-A的余弦值.
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