Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）是偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=1-x，則方程f（x）=

1

1-|x|

在區(qū)間[-10，10]上的解的個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：常規(guī)題型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)結(jié)合函數(shù)滿足f（2+x）=f（2-x），可求得函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，且周期為4，故可以研究出一個(gè)周期上的函數(shù)圖象，再研究所給的區(qū)間包含了幾個(gè)周期即可知道在這個(gè)區(qū)間中的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），
又f（2-x）=f（2+x），可得f（4-x）=f（x），
故可得f（-x）=f（4-x），即f（x）=f（x+4），即函數(shù)的周期是4，
又x∈[0，2]時(shí)，f（x）=1-x，
要研究方程f（x）=

1

1-|x|

在區(qū)間[-10，10]上的解的個(gè)數(shù)
可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=

1

1-|x|

在區(qū)間[-10，10]有幾個(gè)交點(diǎn)，
畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖：

由圖象可知，兩圖象有9個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有9個(gè)解．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，求解本題，關(guān)鍵是研究出函數(shù)f（x）性質(zhì)，作出其圖象，將方程解的個(gè)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題是本題中的一個(gè)亮點(diǎn)，此一轉(zhuǎn)化使得本題的求解變得較容易．