Question

已知S_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=2012或2013，i=1，2，3，…，n}（n≥2），對于U，V∈S_n，d（U，V）表示U，V中相對應的元素不同的個數．
（1）令U=（2013，2013，2013，2013，2013），存在m個V∈S₅，使得d（U，V）=2．則m=

 

；
（2）令U=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），若V∈S_n，則所有d（U，V）之和為

 

．

Answer 1

考點：集合的包含關系判斷及應用

專題：集合

分析：（1）根據V∈S₅，d（U，V）=2及d（U，V）的意義：表示U和V中相對應的元素不同的個數，可知m=C₅²；
（2）易知S_n中共有2ⁿ個元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）b_i=0的v_k共有2^n-1個，b_i=1的v_k共有2^n-1個然后求和即可．

解答： 解：（1）∵V∈S₄，d（U，V）=2，
∴m=C₅²=10，即m=10；
（2）易知S_n中共有2ⁿ個元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n），
∵b_i=0的v_k共有2^n-1個，b_i=1的v_k共有2^n-1個．
∴d（U，V）=2^n-1（|a₁-0|+|a₁-1|+|a₂-0|+a₂-1|+|a₃-0|+|a₃-1|+…+|a_n-0|+|a_n-1|=n•2^n-1，
∴d（U，V）=n•2^n-1．
故答案為：10，n•2^n-1

點評：此題是個難題．本題是綜合考查集合推理綜合的應用，這道題目的難點主要出現在讀題上，需要仔細分析，以找出解題的突破點．題目所給的條件其實包含兩個定義，第一個是關于S_n的，其實S_n中的元素就是一個n維的坐標，其中每個坐標值都是2012或2013，也可以這樣理解，就是一個n位數字的數組，每個數字都只能是2012或2013，第二個定義d（U，V），正確理解這兩個定義是解答的關鍵．