Question

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標(biāo)方程為，是上一動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)的軌跡為．

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程，并化為直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），直線與曲線的交點(diǎn)為，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的普通方程．

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為,，由可得,整理即可得到極坐標(biāo)方程,進(jìn)而求得直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程中,再利用韋達(dá)定理可得，，則，求得取最小值時(shí)符合的條件,進(jìn)而求得直線的普通方程.

（1）設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為，，

因?yàn)?/span>,則，

所以曲線的極坐標(biāo)方程為，

兩邊同乘,得，

所以的直角坐標(biāo)方程為,即.

（2）設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則,，將直線的參數(shù)方程（參數(shù)），代入的直角坐標(biāo)方程中，整理得.

由韋達(dá)定理得，，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，

所以當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的普通方程為.