【題目】定義區(qū)間,,,的長(zhǎng)度為.如果一個(gè)函數(shù)的所有單調(diào)遞增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為(其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),那么稱這個(gè)函數(shù)為“函數(shù)”.下列四個(gè)命題:
①函數(shù)不是“函數(shù)”;
②函數(shù)是“函數(shù)”,且;
③函數(shù)是“函數(shù)”;
④函數(shù)是“函數(shù)”,且.
其中正確的命題的個(gè)數(shù)為( )
A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)
【答案】B
【解析】
利用導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的圖象,對(duì)四個(gè)命題逐一判斷出真假。
分析命題①: 定義域?yàn)?/span>,,
,函數(shù)在上是單調(diào)遞增,顯然這個(gè)區(qū)間沒(méi)有長(zhǎng)度,因此函數(shù)不是“函數(shù)”,故命題①是真命題。
分析命題②:,定義域?yàn)?/span>,
當(dāng)時(shí),函數(shù)是增函數(shù),
構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),,圖象如下圖所示:
通過(guò)圖象可知當(dāng),而,即, ,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)是增函數(shù),增區(qū)間的長(zhǎng)度為,又因?yàn)?/span>顯然有成立,所以函數(shù)是“m函數(shù)”, 即成立,故命題②是真命題。
分析命題③: 函數(shù) 定義域?yàn)?/span>,
顯然時(shí),,此時(shí)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),增區(qū)間為,而區(qū)間沒(méi)有長(zhǎng)度,故函數(shù)不是“函數(shù)”,故命題③是假命題。
分析命題④:函數(shù) 定義域,
當(dāng)時(shí),是增函數(shù),故只需成立,是增函數(shù),
也就是成立,是增函數(shù),構(gòu)造二個(gè)函數(shù), 如下圖所示:
通過(guò)圖象可知:當(dāng)時(shí),,而,所以。從而有時(shí),時(shí),函數(shù)是增函數(shù),顯然區(qū)間長(zhǎng)度為,而
所以函數(shù)是“函數(shù)”,又,即。故命題④是真命題。
綜上所述:正確的命題的個(gè)數(shù)為3個(gè),故本題選B。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn).點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程;
(2)求證:;
(3)求△F1MF2的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn),分別是橢園C:的左、右焦點(diǎn),且橢圓C上的點(diǎn)到的距離的最小值為,點(diǎn)M,N是橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn),且向量與向量平行.
求橢圓C的方程;
當(dāng)時(shí),求的面積;
當(dāng)時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,1),N(2,2).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn),且點(diǎn)M到直線l的距離為,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知、是定點(diǎn),.若動(dòng)點(diǎn)滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是( )
A.直線B.線段C.圓D.橢圓
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)A,B,C是三個(gè)事件,給出下列四個(gè)事件:
(Ⅰ)A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生;
(Ⅱ)A,B,C中最多有一個(gè)發(fā)生;
(Ⅲ)A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生;
(Ⅳ)A,B,C最多有兩個(gè)發(fā)生;
其中相互為對(duì)立事件的是( )
A.Ⅰ和ⅡB.Ⅱ和ⅢC.Ⅲ和ⅣD.Ⅳ和Ⅰ
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】老況、老王、老顧、小周、小郭和兩位王女士共7人要排成一排拍散伙紀(jì)念照.
(1)若兩位王女士必須相鄰,則共有多少種排隊(duì)種數(shù)?
(2)若老王與老況不能相鄰,則共有多少種排隊(duì)種數(shù)?
(3)若兩位王女士必須相鄰,若老王與老況不能相鄰,小郭與小周不能相鄰,則共有多少種排隊(duì)種數(shù)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)E到點(diǎn)A(2,0)與點(diǎn)B(-2,0)的直線斜率之積為-,點(diǎn)E的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)D(l,0)作直線l與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),且=-.求直線l的方程.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),傾斜角),曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。
(1)寫(xiě)出曲線的普通方程和直線的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn),求點(diǎn)的極坐標(biāo)。
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