【題目】從拋物線上任意一點P向x軸作垂線段,垂足為Q,點M是線段上的一點,且滿足
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)設直線與軌跡c交于兩點,T為C上異于的任意一點,直線,分別與直線交于兩點,以為直徑的圓是否過x軸上的定點?若過定點,求出符合條件的定點坐標;若不過定點,請說明理由.
【答案】(1) (2)見解析
【解析】
(1)利用相關點法,設設,,則點的坐標為,由,從而得到,即.化簡求得結果;
(2)設出點A,B的坐標,將直線與曲線的方程聯立,消元得到,根據韋達定理得到 =, =,設點,寫出直線AT的方程,進而求得點D的坐標,同理求得點E的坐標,如果以為直徑的圓過軸某一定點,則滿足,利用向量數量積坐標公式求得結果.
(1)設,,則點的坐標為.
因為,
所以,
即 ,
因為點在拋物線上,
所以,即.
所以點的軌跡的方程為.
(2)解法1:設直線與曲線的交點坐標為 ,,
由得.
由韋達定理得 =, =.
設點,則.
所以直線的方程為.
令,得點的坐標為.
同理可得點的坐標為.
如果以為直徑的圓過軸某一定點,則滿足.
因為 .
所以.
即,解得或.
故以為直徑的圓過軸上的定點和.
解法2:直線與曲線的交點坐標為,,
若取,則,與直線的交點坐標為,,
所以以為直徑的圓的方程為.
該圓與軸的交點坐標為和.
所以符合題意的定點只能是或.
設直線與曲線的交點坐標為 ,,
由得.
由韋達定理得
設點,則.
所以直線的方程為.
令,得點的坐標為.
同理可得點的坐標為.
若點滿足要求,則滿足.
因為
.
所以點滿足題意.
同理可證點也滿足題意.
故以為直徑的圓過軸上的定點和.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已數列的各項均為正整數,且滿足,又.
(1)求的值,猜想的通項公式并用數學歸納法證明;
(2)設,求的值;
(3)設,是否存在最大的整數,使得對任意,均有?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=xex-alnx(無理數e=2.718…).
(1)若f(x)在(0,1)單調遞減,求實數a的取值范圍;
(2)當a=-1時,設g(x)=x(f(x)-xex)-x3+x2-b,若函數g(x)存在零點,求實數b的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關系的研究中,獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數據,如下表:
(年齡/歲) | 26 | 27 | 39 | 41 | 49 | 53 | 56 | 58 | 60 | 61 |
(脂肪含量/%) | 14.5 | 17.8 | 21.2 | 25.9 | 26.3 | 29.6 | 31.4 | 33.5 | 35.2 | 34.6 |
根據上表的數據得到如下的散點圖.
(1)根據上表中的樣本數據及其散點圖:
(i)求;
(i)計算樣本相關系數(精確到0.01),并刻畫它們的相關程度.
(2)若關于的線性回歸方程為,求的值(精確到0.01),并根據回歸方程估計年齡為50歲時人體的脂肪含量.
附:參考數據:img src="http://thumb.zyjl.cn/Upload/2019/08/18/08/786210e5/SYS201908180802150104289801_ST/SYS201908180802150104289801_ST.007.png" width="51" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,,,,,,
參考公式:相關系數
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點為拋物線的焦點,過點的直線交拋物線于、兩點,點在拋物線上,使得的重心在軸上,直線交軸于點,且在點的右側.記、的面積分別、.
(1)求的值及拋物線的方程;
(2)求的最小值及此時點的坐標.
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