Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，對(duì)任意，證明：．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在處的切線方程的斜率就是，寫出方程即可求得,因此，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究知當(dāng)時(shí)，從而，當(dāng)時(shí)，從而；（2）因?yàn)?/span>，要證原式成立即證成立，先證明：對(duì)任意，恒成立，再令，則恒成立，所以在上遞增，恒成立，即，即，即，而當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，由①②式，，故時(shí)，成立.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，由已知得，∴．

所以，設(shè)，則，在上恒成立，

即在上是減函數(shù)，由知，當(dāng)時(shí)，從而，

當(dāng)時(shí)，從而．

綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）因?yàn)?/span>，要證原式成立即證成立，

現(xiàn)證明：對(duì)任意，恒成立，當(dāng)時(shí)，由（1）知成立；

當(dāng)時(shí)，，且由（Ⅰ）知，∴．

設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值．

所以.即時(shí)，．

綜上所述，對(duì)任意，恒成立．①

令，則恒成立，所以在上遞增，

恒成立，即，即．

②當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，由①②式，，

綜上所述，時(shí)，成立，故原不等式成立.