【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),是的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證;
(Ⅱ)是否存在正整數(shù),使得對(duì)一切恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2)存在且為.
【解析】(Ⅰ)要證明函數(shù)不等式(),注意到,因此我們可先研究函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性,這可通過導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)確定;
(Ⅱ)首先把不等式具體化,即不等式為,注意到特殊情形, 時(shí),不等式為,因此的值只有為1或2,因此只要證時(shí),不等式恒成立即可,這仍然通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證得結(jié)論,為了確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的方便性,把不等式變?yōu)?/span>,因此只要研究函數(shù)的單調(diào)性,求得最小值即可.
試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ,則 ,
令,則 ,
令,得,故在時(shí)取得最小值,
在上為增函數(shù),
,
(Ⅱ) ,
由,得對(duì)一切恒成立,
當(dāng)時(shí),可得,所以若存在,則正整數(shù)的值只能取1,2.
下面證明當(dāng)時(shí),不等式恒成立,
設(shè) ,則 ,
由(Ⅰ) , ,
當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,
即在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),
,
當(dāng)時(shí),不等式恒成立
所以的最大值是2.
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8 | 3 | 4 |
1 | 5 | 9 |
6 | 7 | 2 |
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(1)分別求直線和圓的極坐標(biāo)方程;
(2)射線(其中)與圓交于兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn),射線與圓交于兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn),求的最大值.
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(1)寫出月利潤(rùn)(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量(件)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少件時(shí),該廠所獲月利潤(rùn)最大?
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(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
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(1)1個(gè)孩子顯露顯性特征的概率是多少?
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(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
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