【題目】(本題滿分16分)已知,,都是各項不為零的數(shù)列,且滿足,,其中是數(shù)列的前項和,是公差為的等差數(shù)列.
(1)若數(shù)列是常數(shù)列,,,求數(shù)列的通項公式;
(2)若(是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(3)若(為常數(shù),), ,求證:對任意的,數(shù)列單調(diào)遞減.
【答案】(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析;
【解析】
試題(1)由已知條件可化得數(shù)列的前和,再作差求得通項,要注意分類討論;(2)與(1)的思路相同,利用和作差,得到項之間的關(guān)系式,進而表示出數(shù)列的通項,利用等差數(shù)列的定義進行證明,還應(yīng)注意補充說明;(3)由(2)中和作差后的通項間的關(guān)系式可推得與的關(guān)系式,則證得從第2項起成等比數(shù)列,求得其通項公式,同時也求得數(shù)列從第二項起是等差數(shù)列,所以從第2項起為差比數(shù)列,通過作差或作商可以研究它的單調(diào)性;
試題解析:(1)因為,,所以,
因為數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列,所以,,
則由及得,
當(dāng)時,,兩式相減得,
當(dāng)時,,也滿足,故.
(2)因為,
當(dāng)時,,兩式相減得,
即,,即,
又,所以,
即,
所以當(dāng)時,,兩式相減得 ,
所以數(shù)列從第二項起是公差為等差數(shù)列;
又當(dāng)時,由得,
當(dāng)時,由得,
故數(shù)列是公差為等差數(shù)列.
(3)由(2)得當(dāng)時,,即,
因為,所以,即,所以,即,
所以,
當(dāng)時,,兩式相減得,
即,故從第二項起數(shù)列是等比數(shù)列,
所以當(dāng)時,,
,
另外由已知條件得,又,,,
所以,因而,令 ,則 ,
因為,所以,所以對任意的,數(shù)列單調(diào)遞減.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的前n項和,且滿足,,數(shù)列是首項為2,公比為q()的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)正整數(shù)k,t,r成等差數(shù)列,且,若,求實數(shù)q的最大值;
(3)若數(shù)列滿足,,其前n項和為,當(dāng)時,是否存在正整數(shù)m,使得恰好是數(shù)列中的項?若存在,求岀m的值;若不存在,說明理由.
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【題目】若拋物線的焦點是,準(zhǔn)線是,點是拋物線上一點,則經(jīng)過點、且與相切的圓共( )
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 4個
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線與曲線,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)寫出曲線,的極坐標(biāo)方程;
(2)在極坐標(biāo)系中,已知與,的公共點分別為,,,當(dāng)時,求的值.
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【題目】已知橢圓:過點,過坐標(biāo)原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于,兩點.
(1)證明:當(dāng)取得最小值時,橢圓的離心率為.
(2)若橢圓的焦距為2,是否存在定圓與直線總相切?若存在,求定圓的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】設(shè)函數(shù),,.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個零點,().
(i)求的取值范圍;
(ii)求證:隨著的增大而增大.
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【題目】某地環(huán)保部門跟蹤調(diào)查一種有害昆蟲的數(shù)量.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù),該昆蟲的數(shù)量(萬只)與時間(年)(其中)的關(guān)系為.為有效控制有害昆蟲數(shù)量、保護生態(tài)環(huán)境,環(huán)保部門通過實時監(jiān)控比值(其中為常數(shù),且)來進行生態(tài)環(huán)境分析.
(1)當(dāng)時,求比值取最小值時的值;
(2)經(jīng)過調(diào)查,環(huán)保部門發(fā)現(xiàn):當(dāng)比值不超過時不需要進行環(huán)境防護.為確保恰好3年不需要進行保護,求實數(shù)的取值范圍.(為自然對數(shù)的底, )
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【題目】已知橢圓C:的離心率為,過焦點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知點,,過點的任意一條直線與橢圓交于,兩點,求證:.
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【題目】十九大以來,某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求,帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康。經(jīng)過不懈的奮力拼搏,新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進步,農(nóng)民年收入也逐年增加。為了更好的制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收人力爭早日脫貧的工作計劃,該地扶貧辦統(tǒng)計了2018年位農(nóng)民的年收人并制成如下頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計位農(nóng)民的年平均收入(單位:千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示);
(2)由頻率分布直方圖,可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入服從正態(tài)分布,其中近似為年平均收入,近似為樣本方差,經(jīng)計算得.利用該正態(tài)分布,求:
(i)在2019年脫貧攻堅工作中,若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn),則最低年收入大約為多少千元?
(ii)為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧,不落一人”的政策要求落實情況,扶貧辦隨機走訪了位農(nóng)民。若每個農(nóng)民的年收人相互獨立,問:這位農(nóng)民中的年收入不少于千元的人數(shù)最有可能是多少?
附:參考數(shù)據(jù)與公式
則①;②;③.
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