【題目】如圖,四邊形與均為菱形,,且.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若為線段上的一點(diǎn),且滿足直線與平面所成角的正弦值為,求線段的長.
【答案】(1)見解析;(2)二面角的余弦值為;(3).
【解析】分析:(1)由菱形的性質(zhì)可得,由等腰三角形的性質(zhì)可得,根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面;(2)先證明為等邊三角形,可得,于是可以為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系,利用向量垂直數(shù)量積為零,列方程組求出平面的法向量與平面的法向量,利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果;(3)設(shè)由直線與平面所成角的正弦值為,利用空間向量夾角余弦公式列方程求得,從而可得結(jié)果.
詳解:(1)設(shè)與相交于點(diǎn),連接,
∵四邊形為菱形,∴,
且為中點(diǎn),
∵,∴,
又,
∴平面.
(2)連接,∵四邊形為菱形,且,
∴為等邊三角形,
∵為中點(diǎn),∴,又,
∴平面.∵兩兩垂直,∴建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,
設(shè),∵四邊形為菱形, ,∴.
∵為等邊三角形,∴.
∴,
∴,
設(shè)平面的法向量為,則
令,得
設(shè)平面的法向量為,則,
令,得
所以
又因?yàn)槎娼?/span>為鈍角,
所以二面角的余弦值為
(3)設(shè)
所以
化簡得
解得:
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,共享單車在我國各城市迅猛發(fā)展,為人們的出行提供了便利,但也給城市的交通管理帶來了一些困難,為掌握共享單車在省的發(fā)展情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)從該省抽取了5個城市,并統(tǒng)計(jì)了共享單車的指標(biāo)和指標(biāo),數(shù)據(jù)如下表所示:
城市1 | 城市2 | 城市3 | 城市4 | 城市5 | |
指標(biāo) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
指標(biāo) | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
(1)試求與間的相關(guān)系數(shù),并說明與是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(若,則認(rèn)為與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,否則認(rèn)為沒有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系).
(2)建立關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測當(dāng)指標(biāo)為7時,指標(biāo)的估計(jì)值.
(3)若某城市的共享單車指標(biāo)在區(qū)間的右側(cè),則認(rèn)為該城市共享單車數(shù)量過多,對城市的交通管理有較大的影響交通管理部門將進(jìn)行治理,直至指標(biāo)在區(qū)間內(nèi)現(xiàn)已知省某城市共享單車的指標(biāo)為13,則該城市的交通管理部門是否需要進(jìn)行治理?試說明理由.
參考公式:回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
,,相關(guān)系數(shù)
參考數(shù)據(jù):,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)其中,為常數(shù)且在處取得極值.
1當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
2若在上的最大值為1,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解使用手機(jī)是否對學(xué)生的學(xué)習(xí)有影響,某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生,對學(xué)習(xí)成績和使用手機(jī)情況進(jìn)行了調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示(不完整):
使用手機(jī) | 不使用手機(jī) | 總計(jì) | |
學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀 | 10 | 40 | |
學(xué)習(xí)成績一般 | 30 | ||
總計(jì) | 100 |
(1)補(bǔ)充完整所給表格,并根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與使用手機(jī)有關(guān);
(2)現(xiàn)從上表中不使用手機(jī)的學(xué)生中按學(xué)習(xí)成績是否優(yōu)秀分層抽樣選出6人,再從這6人中隨機(jī)抽取3人,求其中學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生恰有2人的概率.
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是拋物線上的兩個動點(diǎn),且滿足.設(shè)線段的中點(diǎn)在上的投影為,則的最大值是 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)在一次公益活動中聘用了10名志愿者,他們分別來自于A、B、C三個不同的專業(yè),其中A專業(yè)2人,B專業(yè)3人,C專業(yè)5人,現(xiàn)從這10人中任意選取3人參加一個訪談節(jié)目.
(1)求3個人來自兩個不同專業(yè)的概率;
(2)設(shè)X表示取到B專業(yè)的人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸的距離為,將函數(shù)的圖象向左平移個單位后,得到的圖象關(guān)于y軸對稱則函數(shù)的圖象( )
A. 關(guān)于直線對稱 B. 關(guān)于直線對稱
C. 關(guān)于點(diǎn)對稱 D. 關(guān)于點(diǎn)對稱
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程(為參數(shù)).以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求圓的極坐標(biāo)方程;
(2)直線的極坐標(biāo)方程是,射線與圓的交點(diǎn)為,,與直線的交點(diǎn)為,求線段的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】改革開放四十年以來,北京市居民生活發(fā)生了翻天覆地的變化.隨著經(jīng)濟(jì)快速增長、居民收入穩(wěn)步提升,消費(fèi)結(jié)構(gòu)逐步優(yōu)化升級,生活品質(zhì)顯著增強(qiáng),美好生活藍(lán)圖正在快速構(gòu)建.北京市城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出從1998年的7 500元增長到2017年的40 000元.1998年與2017年北京市城鎮(zhèn)居民消費(fèi)結(jié)構(gòu)對比如下圖所示:
1998年北京市城鎮(zhèn)居民消費(fèi)結(jié)構(gòu) 2017年北京市城鎮(zhèn)居民消費(fèi)結(jié)構(gòu)
則下列敘述中不正確的是( )
A. 2017年北京市城鎮(zhèn)居民食品支出占比同1998年相比大幅度降低
B. 2017年北京市城鎮(zhèn)居民人均教育文化娛樂類支出同1998年相比有所減少
C. 2017年北京市城鎮(zhèn)居民醫(yī)療保健支出占比同1998年相比提高約
D. 2017年北京市城鎮(zhèn)居民人均交通和通信類支出突破5 000元,大約是1998年的14倍
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