Question

如圖，A₁（-2，0），A₂（2，0）是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個端點，M是橢圓上不同于A₁，A₂的點，且MA₁與MA₂的斜率之積為-

3

4

，F(xiàn)（c，0）為橢圓C的右焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線MA₁，MA₂分別與直線x=

a2

c

相交于點P，Q，證明：FP⊥FQ．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），（x≠±2），由已知條件推導出

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，得

a2

c

=4，F(xiàn)（1，0），設(shè)P（4，y_P），Q（4，y_Q），由已知條件推導出y_P•y_Q=-9，由此能證明FP⊥FQ．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)M（x，y），（x≠±2），
則kMA1=

y

x+2

，kMA2=

y

x-2

，
∵kMA1•kMA2=-

3

4

，
∴

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，
化簡，得

x2

4

+

y2

3

=1，（x≠±2），
∵M在橢圓上，且A₁（-2，0），A₂（2，0）也適合上述方程，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）證明：∵橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
∴

a2

c

=4，F(xiàn)（1，0），
設(shè)P（4，y_P），Q（4，y_Q），
∵MA₁與MA₂的斜率之積為-

3

4

，
∴kPA1•kQA2=

yP

6

•

yQ

2

=-

3

4

，
解得y_P•y_Q=-9，
∴k_FP•k_FQ=

yP

3

•

yQ

3

=-1，
∴FP⊥FQ．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的證明，解題時要認真審題，注意直線斜率、橢圓性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識點的合理運用．