Question

【題目】函數(shù) ，其中 ．

（1）試討論函數(shù) 的單調(diào)性；

（2）已知當(dāng) （其中 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，在 上至少存在一點(diǎn) ，使 成立，求 的取值范圍；

（3）求證：當(dāng) 時(shí)，對(duì)任意 ，，有 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】分析：（1）求導(dǎo)數(shù)后根據(jù)的取值范圍判斷出導(dǎo)函數(shù)在上的符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)性．（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“當(dāng)時(shí)，”處理，由（1）可得，由，即為所求的范圍．（3）當(dāng)時(shí)，．令，可得在上為減函數(shù)．故對(duì)任意，都有成立，由此可得成立．

詳解：（1）易知的定義域?yàn)?/span>．

由題意得．

令 得 或 ．

∵ ，

∴ ．

①當(dāng)時(shí)，

則當(dāng)單調(diào)遞增，

當(dāng)單調(diào)遞減，

當(dāng)單調(diào)遞增．

②當(dāng)時(shí)，

則當(dāng)單調(diào)遞增；

當(dāng)單調(diào)遞減；

當(dāng)單調(diào)遞增．

③當(dāng)時(shí)，則當(dāng)單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．

（2）在上至少存在一點(diǎn)，使成立，

等價(jià)于當(dāng)時(shí)，．

∵ ，

∴ ．

由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．

∴ 當(dāng)時(shí)，．

由 ．

經(jīng)檢驗(yàn)知上式滿足．

∴所以 的取值范圍是．

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)．

令，

則．

∴當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)．

∴ 對(duì)任意，都有成立，

即．

即．

又，

∴ ．