已知函數(shù)若函數(shù)在x = 0處取得極值.
(1) 求實(shí)數(shù)的值;
(2) 若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0,2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3) 證明:對任意的自然數(shù)n,有恒成立.
(1);(2) ;(3)見解析.
解析試題分析:(1)先有已知條件寫出的解析式,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系得到,解得的值;(2)由構(gòu)造函數(shù),則在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于在恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根,對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再由零點(diǎn)的存在性定理得到,解不等式組即可;(3) 證明不等式,即是證明.對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,找到其在區(qū)間上的最大值,則有成立,那么不等式成立,利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得的單調(diào)性與最小值,根據(jù),那么,所給不等式得證.
試題解析:(1) 由題意知則, 2分
∵時(shí), 取得極值,∴,故,解得.
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意. 4分
(2)由知
由 ,得, 5分
令,
則在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于在恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根. , 7分
當(dāng)時(shí),,于是在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,于是在上單調(diào)遞減.依題意有
,即, .9分
(3) 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/22/c/dpzoj1.png" style="vertical-align:middle;" />,由(1)知,
令得,或 (舍去), 11分
∴當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減. ∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知定義在上的函數(shù),其中為常數(shù).
(1)當(dāng)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),求的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),若,在處取得最大值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,試解答下列兩小題.
(i)若不等式對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(ii)若是兩個(gè)不相等的正數(shù),且以,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),,其中.
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),若,,總有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量(單位:千克)與銷售價(jià)格(單位:元/千克)滿足關(guān)系式其中為常數(shù).己知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí),每日可售出該商品11千克.
(1)求的值;
(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價(jià)格的值,使商場每日銷售該商品所獲得利潤最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),為實(shí)數(shù))有極值,且在處的切線與直線平行.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)的極小值為1,若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)試判斷函數(shù)在上的符號,并證明:
().
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(II)若關(guān)于x的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)()
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值;
(2)當(dāng)時(shí),若直線與曲線在上有公共點(diǎn),求的取值范圍.
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