Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過焦點垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為

7

2

，橢圓C的離心率為

3

4

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，

|OP|

OM

=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件條件，利用橢圓性質(zhì)，列出方程求出a，b值，問題得以解決．
（2）設(shè)M（x，y），根據(jù)條件列出關(guān)于λ的方程（16λ²-9）x²+16λ²y²=448，然后再按照，線段，圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程討論．

解答： 解：（1）∵過焦點垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為

7

2

，橢圓C的離心率為

3

4

．
∴

c a = 3 4 b2 a = 7 2

解得a=8，b=2

7

，
∴橢圓C的方程為：

x2

64

+

y2

28

=1．
（2）設(shè)M（x，y），其中x∈[-8，8]．
∵

|OP|2

|0M|2

=λ2，及點P在橢圓C上，可得

9x2+448

16(x2+y2)

=λ2，
整理得（16λ²-9）x²+16λ²y²=448，其中x∈[-8，8]．
①當(dāng)λ=

3

4

時，化簡得9y²=448．
所以點M的軌跡方程為y=±

8 7

3

（-8≤x≤8），軌跡是兩條平行于x軸的線段．
②當(dāng)λ≠

3

4

時，方程變形為：

x2

448 16λ2-9

+

y2

448 16λ2

=1，
當(dāng)0＜λ＜

3

4

時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足-8≤x≤8的部分；
當(dāng)

3

4

＜λ＜1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足-8≤x≤8的部分；
當(dāng)λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓．

點評：本題主要考查圓錐曲線的定義和性質(zhì)及其方程．考查分類討論思想，是中檔題．