Question

如圖，已知AB=2c（2c為常數且c＞0）．以AB為直徑的圓有一內接梯形ABCD，且AB∥CD．若橢圓以A、B為焦點．且過C、D兩點，則當梯形ABCD的面積最大時，橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設∠BAC=θ，作CE⊥AB于點E，則可表示出BC，EB，CD，進而可求得梯形的面積的表達式，根據二次函數的性質求得面積的最大值時θ的值，則AC和BC可求，進而根據橢圓的定義求得橢圓的長軸，利用離心率公式，可得結論．

解答： 解：設∠BAC=θ，過C作CE⊥AB，垂足為E，則
BC=2csinθ，CE=BCsin（90°-θ）=2csin2θ，
∴CD=2c-4csin2θ，
梯形的面積S=

1

2

•（DC+AB）•CE=

1

2

•2csin2θ（2c+2c-4csin2θ）=4c（-sin²2θ+sin2θ），當sin2θ=

1

2

時，面積有最大值，
此時θ=30°，則BC=c，AC=

3

c，a=

1

2

（AC+BC）=

3 +1

2

•c，e=

c

a

=

c

3 +1 2 •c

=

3

-1．
故答案為：

3

-1

點評：本題主要考查了橢圓的應用，考查橢圓與圓的綜合，考查橢圓的幾何性質，充分利用了橢圓的定義．