Question

已知函數f（x）=3+2

3

sinx•cosx+2cosx²．
（1）若f（α）=5，求tanα的值；
（2）設△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且（2a-c）•cosB-b•cosC=0，求函數f（x）在（0，B]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數中的恒等變換應用,正弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（1）根據f（α）=5列出關系式，利用同角三角函數間基本關系化簡，整理后即可求出tanα的值；
（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，由sinA不為0求出cosB的值，確定出B的度數，進而得到函數的定義域，利用正弦函數的值域即可確定出f（x）的最大值與最小值．

解答： 解：（1）由f（α）=5，得到3+2

3

sinα•cosα+2cos²α=5，
即

3sin2α+2 3 sinαcosα+5cos2α

sin2α+cos2α

=

3tan2α+2 3 tanα+5

tan2α+1

=5，
整理得：2tanα（tanα-

3

）=0，
解得：tanα=0或tanα=

3

；
（2）將（2a-c）•cosB-b•cosC=0，利用正弦定理變形得：（2sinA-sinC）cosB-sinBcosC=0，
整理得：2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

，即0＜x≤

π

3

，
∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，即5≤2sin（2x+

π

6

）+4≤6，
∵f（x）=3+

3

sin2x+cos2x+1=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+4=2sin（2x+

π

6

）+4，
∴f（x）在（0，

π

3

]上的最大值為6，最小值為5．

點評：此題考查了正弦定理，二倍角的正弦、余弦函數公式，同角三角函數間基本關系的運用，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．